Esta é a terceira parte da série História da Geometria, sobre as Críticas ao Quinto Postulado de Euclides.
Para conhecer o quinto postulado de Euclides, ver parte 2.
Se você não sabe de qual projeto essa série faz parte, veja: Motivando as Geometrias não Euclidianas.
Críticas ao Quinto Postulado
Como os postulados devem ser assumidos como verdadeiros, para garantir a validade das proposições deduzidas logicamente, esperava-se que eles fossem obviamente verdadeiros, tão claramente verdadeiros quanto possível, para ter segurança das proposições deduzidas a partir deles. No entanto, o quinto postulado não possui essa característica de auto-evidência dos quatro anteriores, assemelhando-se mais a uma proposição. Além disso, Euclides só começou a usar o quinto postulado a partir da sua proposição de número 27. Esses fatos começaram a levantar suspeitas de que o quinto postulado seria apenas uma proposição demonstrável a partir dos outros quatro postulados.
Por conta disso, muitos pesquisadores tentaram demonstrar o quinto postulado a partir dos quatro primeiros. Entre eles, destacamos os mais importantes: Ptolomeu (323 - 285 a.C.), Proclus (410-485), Nasiradin (1201-1274), John Wallis (1616-1703), Gerolamo Saccheri (1667-1733), John H. Lambert (1728-1777), Louis Bertrand (1731-1812), Adrien M. Legendre (1752-1833). Estes são nomes que deixaram nas suas obras referências relevantes sobre o assunto, dentre muitos outros que também fizeram tal tentativa.
Exemplo: Como ilustração dessas tentativas de provar o quinto postulado, vamos dar uma ideia de como o italiano Saccheri procedeu:
Considere um quadrilátero ABCD, em que os lados AD e BC são congruentes entre si e perpendiculares ao lado AB. Usando apenas os quatro primeiros postulados, Saccheri provou que os ângulos em C e D são congruentes.
A validade do quinto postulado é equivalente a assumir que estes ângulos são retos, ou seja, se ele provasse que de fato os ângulos são retos, então ele demonstraria o quinto postulado. Mas há três hipóteses sobre esses ângulos: são 1. retos, 2. obtusos, 3. agudos.
A idéia de Saccheri era começar a trabalhar com as hipóteses 2 e 3. Se, com isso, ele encontrasse algum tipo de contradição, demonstraria que só é possível que ocorra a hipótese 1. Entretanto, ele não conseguiu encontrar qualquer contradição, pelo contrário, conseguiu demonstrar uma série de novas proposições. Ele foi, sem dúvida, o primeiro a ter um vislumbre das geometrias possíveis, mesmo sem saber disto.
O que Saccheri não sabia é que ele havia dado um enorme passo em direção às novas geometrias. Por exemplo, ele demonstrou que se existe um triângulo para o qual a soma dos ângulos internos é igual a 180 graus, então vale a hipótese 1. Se for maior do que 180 graus, então vale a hipótese 2. E se for menor do que 180 graus, então vale a hipótese 3.
Dizemos que uma superfície não tem curvatura quando vale a hipótese 1, tem curvatura positiva quando vale a hipótese 2 e que tem curvatura negativa quando vale a hipótese 3. 
Observação: Temos então um critério para agrupar superfícies de acordo com as propriedades que seus objetos têm. Vamos separá-las em três categorias:
Isto mostra que tais propriedades não são intrínsecas aos objetos geométricos, mas que dependem do ambiente ou do endereço no qual se encontram.
Continua: História da Geometria (4 de 5), com as Descobertas das Novas Geometrias.
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