tag:blogger.com,1999:blog-42239965172500554072024-03-13T14:52:48.690-03:00Experiências na Matemática, blog do Instituto ProMathProatividade no Aprendizado da Matemática.
Não acredite em nada, tenha as suas próprias Experiências na Matemática.Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/14605917674744886896noreply@blogger.comBlogger117125tag:blogger.com,1999:blog-4223996517250055407.post-70532722323286947062016-08-21T12:41:00.000-03:002016-08-22T17:14:11.045-03:00Estatística na conquista do Ouro Olímpico, Futebol Masculino<p align="justify"><img align="right" src="https://lh3.googleusercontent.com/-TcVbjpxHlgr6g1p_95XmqPJ9XGtgp_Syd608noeJKw-dItW0vUwr9jTZWe-KlyU5fGgwfyogVbjzLisBPlx42x24NDbrgNSkykgu5Vf5ALBG6vr4cOZmUF534xupgk2JhUsDAgD4C3OnwShiZnwkjcsJNDfcgVJJ6uHcMkiV4Li6TUwJ30n8Hqd5iZOB4gRkstj7c3BzWar0ZMGWS7OpGMREdrC5Z7Lsta-XqM0F0v4VNVswBhmOYiSRsOq0CZYlTm7JvwF0TM99yL-zXcZ2q0_PY-lpl-mtz79yp_3zLPUsT5h2PE9yVDQyxwglpHds84A4j0OmXUnG2iMJ-ijcBcXjgjeK9YXiqn_paUcJCLfI86-tUcK77TnlFlxtbmg1P8Mg4DQ0lMrbOvTtc4lc5CEVThOnkI13W51hLWOXtW-qHVovu_U2zVEetJxigi-YK93L6uGpew5zodgWbVcK29i9LHmDtZBoEQWFdHf9FvROn2Q-iZwKEjLsHwHCb5qvCN-XZ_e6PwIN6CO-4j6DvzbRo855zcbFMS1N-mlkBUD7PDQJEaTT59aTrI-nXEmOpG508ZFuKwXUObwMsdSgKR_xeHnZ_U=w688-h349-no" width="250" height="127"><br />Acabei de assistir uma entrevista do goleiro Weverton no <a href="http://globoesporte.globo.com/programas/esporte-espetacular/" target="_blank">esporte espetacular</a> que me chamou muito a atenção.</p>
<p align="justify">Ele mostrou o <b>papel da estatística</b> na conquista do primeiro ouro olímpico do futebol masculino brasileiro, Rio 2016.</p><br />
<a name='more'></a><br />
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<p align="justify">Espero conseguir depois o vídeo da entrevista, por enquanto vou descrever o que ele contou.</p>
<p align="justify">O pênalti defendido foi do principal batedor alemão, que por isso foi devidamente estudado:</p>
<blockquote><p align="justify">Levantamento dos dados. O alemão havia feito em outras competições 8 cobranças, 4 para esquerda, 4 para direita. Ou seja, a análise quantitativa não ajudou.</p>
<p align="justify">Como a quantidade de dados é pequena, a análise precisa ser qualitativa. Eles analisaram que em competições menos importantes ou mais tranquilas, o jogador alemão batia para a esquerda; e em grandes decisões ele batia do lado direito.</p></blockquote>
<p align="justify">Pronto! Os dados qualitativos mostraram que o melhor lado ou lado preferido do jogador alemão é o lado direito!</p><br>
<p align="justify"><b>Parabéns estatística!</b> :D</p>Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/14605917674744886896noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4223996517250055407.post-51442475632848601052016-08-13T19:45:00.001-03:002016-08-18T23:44:36.759-03:00Potência Relativa e Mobilidade<p align="justify">Off topic. Publiquei esta postagem em outro blog dia <b>5 de novembro de 2013</b>. Como vou excluir o outro blog e não quero perder este trabalho, vou alocar a postagem aqui.</p><br>
<p align="justify"><img style="display: inline; margin-left: 0px; margin-right: 0px" align="right" src="https://lh4.googleusercontent.com/-N8ql-0owBXs/UmnDxdmWMEI/AAAAAAAADK4/PLjVxNWIiFw/w370-h239-no/engarrafamento_visconde_guarapuava.jpg" width="200" height="129"> <img style="display: inline; margin-left: 0px; margin-right: 0px" align="left" src="https://lh4.googleusercontent.com/-u4LJcVhmQC4/UmnDxTOYbMI/AAAAAAAADK8/Ukmwfemk92s/s250-no/30.jpg" width="135" height="135"> Necessidade de locomoção: uma reflexão sobre como lidamos com este problema. O número de mortes no trânsito mostra que o problema é grave. As principais causas são <a href="http://www.gazetadopovo.com.br/vidaecidadania/conteudo.phtml?id=1403828" target="_blank">velocidade e álcool</a>. Sobre a velocidade, uma boa medida que pode ser implantada imediatamente nas cidades é a criação de Zonas 30, onde a velocidade máxima permitida é de 30 km/h (saiba mais <a href="http://zona30.com.br/" target="_blank">aqui</a> e no blog <a href="http://www.gazetadopovo.com.br/blogs/ir-e-vir-de-bike/30-kmh-e-nem-uma-vida-a-menos/" target="_blank">Ir e Vir de Bike</a>). </p>
<p align="justify">Mas há uma coisa crucial neste assunto que dificilmente alguém fala: nossos veículos são excessivamente potentes (e pesados)! Campanhas educativas e multas não se mostram eficazes para pessoas que possuem o poder de movimentar uma tonelada de ferro em alta velocidade.</p>
<p align="justify">Esta postagem destina-se a mostrar que não há necessidade prática de existir veículos com este poder. Desde criança me questionava, se a maior velocidade permitida nas estradas é 110 km/h, por que os veículos são capazes de atingir 150 km/h? 200 km/h? Alguns até 300 km/h? </p><a name='more'></a><br>
<p align="justify"><font color="#0080c0" size="4"><strong>Qual a potência relativa necessária para o deslocamento urbano?</strong></font></p>
<p align="justify">A velocidade factível e segura para deslocamentos urbanos é com velocidade máxima por volta dos 30 km/h e uma média de 20 km/h, que é mais ou menos o que eu faço de bicicleta. Se alguém acha que isso é muito lento para os carros, sugiro que estude os dados sobre velocidade média em cidades grandes (<a href="http://www.cetsp.com.br/media/20647/nt162.pdf" target="_blank">veja aqui um exemplo</a>), que muitas vezes não chega a 15 km/h. Sei que este assunto não é simples, mas não é agora que quero discuti-lo, vou apenas usar as velocidades 20/30 como referência. </p>
<p align="justify">A potência relativa que falo é watts (W) por quilograma (kg), ou seja, quero saber qual é a potência necessária para transportar um quilograma de massa. Assim podemos comparar a potência relativa de veículos bem distintos. </p>
<p align="justify">Se eu tivesse um medidor de potência na bicicleta já saberia de antemão qual é a potência necessária, pois sei que a minha potência é suficiente para qualquer deslocamento urbano nas velocidades 20/30 (assim como a maioria das pessoas acostumadas a transportar-se de bicicleta). </p>
<p align="justify"><img style="display: inline; margin-left: 0px; margin-right: 0px" align="right" src="https://lh6.googleusercontent.com/-tESxrVP0sgI/Umlw-oC44lI/AAAAAAAADKI/KXfezwFZEQA/w582-h695-no/Fabian_Cancellara.jpg" width="167" height="200"> Na falta desses dados, vejamos qual é a potência relativa média de um ciclista, digamos, Fabian Cancellara. Segundo <a href="http://maxkonabikes.blogspot.com.br/2011/11/o-numero-magico-do-ciclismo.html" target="_blank">este link</a>, em 2007, no prólogo do Tour de France (prova no total de 7,9 km), ele atingiu uma potência média de 543 W. </p>
<p align="justify">$$\frac{potência\ do\ Cancellara}{peso\ do\ Cancellara + bicicleta}=\frac{543}{82+8}=6,03\ W/kg.$$</p>
<p align="justify">Como ele é um dos melhores ciclistas do mundo na modalidade Contra Relógio Individual, fica claro que a potência relativa de 6 watts para cada quilograma é mais do que suficiente para deslocamentos urbanos. Para se ter uma ideia, ele completou aquela prova com 53,59 km/h de velocidade média, bem acima da velocidade que assumi como adequada para deslocamentos urbanos. </p>
<p align="justify"><img style="display: inline; margin-left: 0px; margin-right: 0px" align="left" src="https://lh4.googleusercontent.com/-z6Q1gb5D2ME/Umlw4epdUFI/AAAAAAAADJ0/2Bp6IGn7F58/w500-h332-no/Mark_Cavendish.jpg" width="250" height="167"> Uma boa crítica agora seria de que estou considerando a potência média ao invés da máxima. De fato, em algumas situações é necessário um pouco mais de potência (numa arrancada ou subida). Apesar de já estar trabalhando com sobra por considerar ciclistas profissionais, vou pegar a referência máxima de potência em bicicleta: Mark Cavendish, um dos melhores velocistas da história do ciclismo de estrada. Segundo <a href="http://www.cyclesportmag.com/features/mark-cavendish-interview/" target="_blank">este link</a>, a potência máxima que ele já atingiu foi 1580 W. Com esta potência ele consegue passar dos 70 ou até 80 km/h em terreno plano.</p>
<p align="justify">$$\frac{potência}{Cavendish + bicicleta}=\frac{1580}{69+8}=20,52\ W/kg.$$</p>
<p align="justify">Ou seja, 20 watts para cada kg já é muito mais do que o necessário para transporte urbano.</p><br>
<p align="justify"><font color="#0080c0" size="4"><strong>Eficiência </strong></font></p>
<p align="justify"><img style="display: inline; margin-left: 0px; margin-right: 0px" align="left" src="https://lh5.googleusercontent.com/-cz0rc_0dk4s/Umlw44aLeII/AAAAAAAADJ4/NQXQ27no5fk/w500-h333-no/Varna_Tempest.jpg" width="250" height="167"> É claro que o assunto não se extingue na relação potência/peso, há vários outros fatores que influem no desempenho dos veículos (energia dissipada, aerodinâmica). É aí que entra a questão da eficiência.</p>
<p align="justify">Por exemplo, bicicletas super aerodinâmicas não precisam do Cavendish para passar dos 80 km/h. Na <a href="http://www.ihpva.org/hpvarec3.htm#nom01" target="_blank">Associação Internacional de Veículos a Propulsão Humana</a> há listados vários recordes (em terreno plano), dos quais resumo alguns na tabela abaixo para exemplificar o que é um veículo eficiente (certamente estes recordistas não são tão potentes quanto Cavendish em distâncias curtas, nem tão potentes quanto Cancellara em distâncias mais longas, e certamente a carenagem deixa a bicicleta mais pesada, mesmo assim as velocidades são muito superiores): </p>
<div align="center"><img style="display: inline; margin-left: 0px; margin-right: 0px" align="right" src="https://lh5.googleusercontent.com/-McZu0oAng48/Umlw67xLYuI/AAAAAAAADKA/zmQ7pNARZZ0/w600-h400-no/Velox_3.jpg" width="250" height="167">
<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="2" width="250" align="center">
<tbody>
<tr>
<td valign="center" width="70">
<p><strong>Distância </strong></p></td>
<td valign="center" width="80"><strong>Velocidade média</strong></td>
<td valign="center" width="64"><strong>Tempo</strong></td></tr>
<tr>
<td valign="top" width="70">200 m </td>
<td valign="top" width="80">133,78 km/h</td>
<td valign="top" width="64">5,382 s</td></tr>
<tr>
<td valign="top" width="70">1 km </td>
<td valign="top" width="80">128,4 km/h</td>
<td valign="top" width="64">28,037 s</td></tr>
<tr>
<td valign="top" width="70">90,6 km </td>
<td valign="top" width="80">90,6 km/h</td>
<td valign="top" width="64">1 hora</td></tr>
<tr>
<td valign="top" width="70">364,57 km</td>
<td valign="top" width="80">60,76 km/h</td>
<td valign="top" width="64">6 horas</td></tr>
<tr>
<td valign="top" width="70">1041,25 km</td>
<td valign="top" width="80">43,39 km/h</td>
<td valign="top" width="64">24 horas</td></tr></tbody></table></div><br><br><br>
<p align="justify"><font color="#0080c0" size="4"><strong>Veículos pesados</strong></font></p>
<p align="justify">Como pretendo comparar as potências relativas mostradas acima com as dos carros convencionais, alguém pode ficar incomodado com a diferença do porte dos veículos, pois bicicleta é muito mais leve que carro e fica a impressão que poderia ter uma distorção dos números por fatores não previstos. Para mostrar que a comparação não é injusta, vamos dar uma olhada na ordem da carga pesada (embora o objetivo final seja avaliar o transporte de pessoas em automóveis).</p>
<p align="justify">O <a href="http://www.mercedes-benz.com.br/pdfs/caminhoes/Actros_2546_LS_multiuso.pdf" target="_blank">Mercedes-Benz Actros 2546 LS Multiuso</a><img style="display: inline; margin-left: 0px; margin-right: 0px" align="left" src="https://lh3.googleusercontent.com/-7NPEN1Zar64/Umm82SiUUJI/AAAAAAAADKg/cm4EK1nw8vI/w648-h470-no/Actros+2546+LS+Multiuso.jpg" width="200" height="145"> tem potência máxima de 456 cv (ou 335388 W) e a <a href="http://www.guiadotrc.com.br/lei/qresumof.asp" target="_blank">legislação de pesos</a> para esta configuração de veículo prevê carga máxima total de 48500 kg:</p>
<p align="justify">$$\frac{335388}{48500}=6,92\ W/kg.$$</p>
<p align="justify">Além disso, se a mesma conta for feita para a capacidade máxima do caminhão, $$\frac{335388}{60000}=5,59\ W/kg,$$ temos uma relação potência/peso menor que a do Cancellara, e ninguém duvida que o caminhão seja capaz de se transportar, não é mesmo?</p><br>
<p align="justify"><font color="#0080c0" size="4"><strong>Qual a potência relativa que usamos para nos transportar?</strong></font></p>
<p align="justify">Agora sim, vamos ver qual é a potência relativa dos carros convencionais, que circulam às centenas de milhares por aí. Fiz a conta para vários carros, mas o que deu a menor potência relativa foi o Fiat Siena 1.0, que encontrei nesta postagem: <a href="http://www.noticiasautomotivas.com.br/os-10-carros-com-as-piores-relacoes-peso-potencia-do-brasil/" target="_blank">os 10 carros com as piores relações peso/potência do Brasil</a>. Ele tem 990 kg e potência máxima de 61 cavalos (ou 44865,5 W):</p>
<p align="justify"><img style="display: inline; margin-left: 0px; margin-right: 0px" align="right" src="https://lh6.googleusercontent.com/-c8QZvoW57u8/Ungq5d_GHUI/AAAAAAAADL4/Rqv7dhHKEdY/w622-h427-no/fiat-siena.jpg" width="220" height="152"> $$\frac{44865,5}{990+70}=42,3\ W/kg.$$</p>
<p align="justify">Veja que a potência relativa de um dos carros “mais fracos” do mercado é mais que o dobro da potência relativa do Cavendish. É um exagero explícito. Mesmo se entupirmos o carro com 5 pessoas de 100 quilos, 50 quilos de gasolina e mais 100 quilos de bagagens, a potência relativa ainda fica acima da potência do Cavendish: $$\frac{44865,5}{990+5\times 100+50+100}=27,36\ W/kg.$$</p>
<p align="justify">Outro veículo apontado na internet como tendo uma relação peso/potência ruim é a <a href="http://www.icarros.com.br/volkswagen/kombi/ficha-tecnica" target="_blank">Kombi Standard 1.4 Flex</a>, com 80 cv (58840 W) e 1260 kg:</p>
<p align="justify"><img style="display: inline; margin-left: 0px; margin-right: 0px" align="right" src="https://lh3.googleusercontent.com/-3l8ySN3aoqE/Ungq5NSicVI/AAAAAAAADL0/tR77xscNdtU/w540-h349-no/kombi.jpg" width="210" height="135"> $$\frac{58840}{1260+70}=44,2\ W/kg.$$</p>
<p align="justify">Se a Kombi for carregada com 9 pessoas de 100 kg mais gasolina e bagagem, a potência continua sendo excessiva:</p>
<p align="justify">$$\frac{58840}{1260+9\times 100+50+100}=25,5\ W/kg.$$</p><br>
<p align="justify"><img style="display: inline; margin-left: 0px; margin-right: 0px" align="right" src="https://lh4.googleusercontent.com/-eedb-Gilcp4/Ung4vaQNQbI/AAAAAAAADNA/nKfd_r7Txuc/w553-h339-no/CG_125.png" width="220" height="135">O mesmo acontece no caso das motos. Vejamos uma das motos mais básicas do mercado, uma <a href="http://www.honda.com.br/motos/Paginas/cg-125-fan.aspx" target="_blank">CG 125</a>, que tem 11,6 cv (8531,8 w) e 105 kg:</p>
<p align="justify">$$\frac{8531,8}{105+70}=48,75\ W/kg.$$</p>
<p align="justify">E se for com duas pessoas de 100 kg, $$\frac{8531,8}{105+2\times 100}=27,97\ W/kg.$$</p>
<p align="justify"><img style="display: inline; margin-left: 0px; margin-right: 0px" align="left" src="https://lh3.googleusercontent.com/-rn_pJ1-Uy_w/UngupxkyUJI/AAAAAAAADMI/ogIVIafGxRw/w640-h480-no/opala-ss.jpg" width="210" height="157"> Agora, se isso já é um exagero, vamos ver outra postagem: <a href="http://www.secarrofalasse.com.br/2013/08/13/os-10-carros-com-a-melhor-relacao-pesopotencia-do-brasil/" target="_blank">Os 10 carros com a melhor relação peso/potência do Brasil</a>. O carro que tem a maior potência relativa neste texto é o Opala SS, com 171 cv (125770,5) e 1172 kg:</p>
<p align="justify">$$\frac{125770,5}{1172+70}=101,26\ W/kg.$$</p>
<p align="justify">É um absurdo existir monstros como esse rodando por aí. </p><br>
<p align="justify"><img style="display: inline; margin-left: 0px; margin-right: 0px" align="left" src="https://lh6.googleusercontent.com/-Jpf8HHSRx10/UngxX_dOQxI/AAAAAAAADMY/3ezBPWeZcvw/w650-h468-no/ducati.jpg" width="220" height="158"> Mas calma, tem coisa pior: <a href="http://quatrorodas.abril.com.br/moto/testes/ducati-1199-panigale-677151.shtml" target="_blank">Ducati 1199 Panigale</a>. Com 195 cv (143422,5 W) e 164 kg:</p>
<p align="justify">$$\frac{143422,5}{164+70}=612,92\ W/kg.$$</p>
<p align="justify">Esta moto assume proporções totalmente fora do padrão. É surpreendente o fato de uma coisa dessas ser permitida de trafegar nas ruas.</p><br>
<p align="justify"><img style="display: inline; margin-left: 0px; margin-right: 0px" align="left" src="https://lh5.googleusercontent.com/-yHn6nxCk8_I/Ung1VhF886I/AAAAAAAADMw/hyO8g-7SN6o/w536-h340-no/Start-Stock-Car-2002.jpg" width="220" height="140"><br>Para se ter uma ideia, ela é muito mais potente que um carro de <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Stock_Car_Brasil#Carro" target="_blank">Stock Car</a>, com 480 hp (357936 W) e 1320 kg:</p>
<p align="justify">$$\frac{357936}{1320}=271,16\ W/kg.$$</p><br>
<p align="justify"><img style="display: inline; margin-left: 0px; margin-right: 0px" align="right" src="https://lh5.googleusercontent.com/-4kqGG91q8Gs/Ung1UgTQu-I/AAAAAAAADMo/8C0jUXBByoM/w400-h300-no/Formula+Indy+2010.jpg" width="220" height="165"><br><br>A Ducati chega a ser comparável a um carro de <a href="http://www.recreio.com.br/fique-ligado/formula-1-e-indy" target="_blank">Fórmula Indy</a>, que é capaz de atingir até 380 km/h, com 650 cv (478075 W) e 694 kg:</p>
<p align="justify">$$\frac{478075}{694+70}=625,75\ W/kg.$$</p><br><br>
<p align="justify"><font color="#0080c0" size="4"><strong>Considerações finais</strong></font></p>
<div style="display: inline; float: right; margin-left: 5px">
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</div>
<p align="justify">Nós não precisamos nem da metade da potência relativa que é usada atualmente nos veículos convencionais, mesmo pegando os mais fracos como referência. Inclusive, para a segurança de todos, não deveria ser permitido trafegar com veículos muito potentes, ou não deveria ser permitido fabricar veículos tão potentes para as ruas.</p>
<p align="justify">Claro, a necessidade psicológica de mais potência foi colocada na cabeça das pessoas ao longo de um século de propagandas, e agora é a opinião do povo que sustenta esta necessidade. Quem nunca ouviu alguém falar que carro 1.0 é muito fraco?</p>
<p align="justify">Todo aquele que fala "<a href="https://www.facebook.com/pages/Odeio-motor-10/163061490514183" target="_blank">odeio carro 1.0</a>" tem a sua parcela de culpa nos problemas de trânsito (especialmente as inúmeras mortes). Mesmo que a pessoa dirija com cuidado, esta opinião sustenta o fato de outras pessoas (possivelmente não tão cuidadosas) possuírem o poder de movimentar uma tonelada de ferro em alta velocidade.</p>Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/14605917674744886896noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4223996517250055407.post-77010192997411782662016-08-13T19:33:00.003-03:002016-08-18T23:44:40.136-03:00O Mito do Carro Elétrico Ineficiente<p align="justify">Off topic. Publiquei esta postagem em outro blog dia <b>12 de outubro de 2013</b>. Como vou excluir o outro blog e não quero perder este trabalho, vou alocar a postagem aqui.</p><br>
<p align="justify"><img style="display: inline; margin-left: 0px; margin-right: 0px" align="right" src="https://lh3.googleusercontent.com/-mxYtUCPBuYo/UetDz4BHd6I/AAAAAAAACuc/E8KmW_9ZWCs/w420-h280-no/tzero.jpg" width="240" height="162">O mito de que o carro elétrico é inviável já completou o seu primeiro século (espero que seja o único). Meu objetivo neste post é juntar alguns fatos e argumentos para tentar diminuir a força deste mito. </p>
<p align="justify">Existem muitos aspectos que este assunto abrange --- economia, política, ecologia, tecnologia, sustentabilidade, etc --- mas agora vou discutir apenas um aspecto: sobre a eficiência ou o potencial de eficiência do carro elétrico. Nós podemos deixar de usar a gasolina (ou outro combustível semelhante) sem abrir mão de qualquer “benefício” que isso traga?</p><a name='more'></a>
<p align="justify"><br></p>
<p align="justify"><font color="#0080c0" size="4"><strong>A inspiração para escrever sobre o assunto</strong></font></p>
<p align="justify">A minha grande inspiração foi o excelente documentário “Quem matou o carro elétrico?”, que aconselho a assistir inteiro, apesar de ser grande. Veja com legenda em português:</p>
<center><iframe src="https://player.vimeo.com/video/25450071" width="500" height="279" frameborder="0" webkitallowfullscreen mozallowfullscreen allowfullscreen></iframe> <p><a href="http://vimeo.com/25450071">Quem matou o carro elétrico? - Who killed the electric car? (2006) Legendado PT</a> from <a href="http://vimeo.com/user7054583">MDDVTM TV4</a> on <a href="https://vimeo.com">Vimeo</a>.</p>
<p align="justify">Pretendo escrever outras postagens sobre carro elétrico, em todas este documentário estará presente, uma vez que o assunto é tratado de forma bastante abrangente. Por ora, para não dispersar, vamos citar apenas alguns trechos dele.</p></center>
<p align="justify"><br></p>
<p align="justify"><font color="#0080c0" size="4"><strong>Primeiras observações</strong></font></p>
<div style="display: inline; float: right; margin-left: 5px">
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</div>
<p align="justify">Há quem associe carro elétrico à inovação tecnológica, à uma modernidade quase alcançada, como se faltasse alguma coisa para que os carros elétricos sejam viáveis. A verdade é que existem carros elétricos desde que existem carros, e eles sempre foram viáveis.</p>
<p align="justify">O motor elétrico foi inventado em 1828. Os carros, em sentido convencional e comercial, apareceram nos anos 1890, e lá estava o carro elétrico. Na virada do século, havia mais carros elétricos do que à gasolina. Isso não deve causar surpresa, motores elétricos são muito mais simples do que à gasolina, a questão é que esta informação não é divulgada (alguém sabe por quê?). Mais detalhes históricos <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_the_electric_vehicle" target="_blank">aqui</a>.</p>
<p align="justify">Por que, então, o carro elétrico perdeu o seu espaço e praticamente sumiu?</p>
<p align="justify"><br></p>
<p align="justify"><font color="#0080c0" size="4"><strong>Super carros elétricos</strong></font></p>
<p align="justify">Primeiramente eu gostaria de deixar claro que não sou a favor da utilização de super carros para deslocamentos comuns (inclusive considero os carros convencionais rápidos demais, mas isso é outro assunto). </p>
<p align="justify">O que pretendo mostrar com os exemplos a seguir é o potencial de aceleração, velocidade máxima, autonomia e durabilidade dos carros elétricos em comparação com os de combustão, uma vez que isto é utilizado como argumento contra os carros elétricos.</p>
<p align="justify">O Tzero, feito por Alan Cocconi, apresentado no vídeo a seguir, vai de zero a 90 km/h em 3,6 segundos e pode com uma carga percorrer cerca de 480 km a uma velocidade de 120 km/h. As baterias são as mesmas utilizadas em laptops.</p>
<center><iframe width="480" height="360" src="//www.youtube.com/embed/gb9E222QsM0" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>
<center></center>
<p align="justify">Veja o Tzero sendo testado contra uma ferrari: </p>
<center><iframe width="480" height="360" src="//www.youtube.com/embed/o8mDGnA2KAU" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>
<p>Outro exemplo é o X1 electric car:
<center><iframe width="480" height="360" src="//www.youtube.com/embed/Rh1xMwOO54s" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>
<p>Conheça também o carro elétrico mais rápido do mundo que é legalizado para andar na rua:
<center><iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/edNJUYj3Y30" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>
<p align="justify">Ainda há um ponto crucial nestes exemplos acima: os carros a combustão já tem uma longa história de pesquisas e investimentos que os desenvolveram bastante. Enquanto que os carros elétricos são feitos, em geral, no improviso, na garagem de algum entusiasta, com as baterias à disposição, que foram criadas para outro propósito. Imagine se houver um investimento sério em desenvolver baterias com maior autonomia e durabilidade, ainda tem muito o que melhorar!
<p align="justify">Em outras proporções, o motor elétrico também é mais eficiente. Veja alguns exemplos de karts elétricos:</p>
<center><iframe width="480" height="360" src="//www.youtube.com/embed/nrdNxgcNlYA" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>
<center><iframe width="480" height="360" src="//www.youtube.com/embed/KNw6KUOKnQs" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>
<center><iframe width="560" height="315" src="//www.youtube.com/embed/-_VUOytVaVs" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>
<p align="justify">Conheça o Linde eletric kart, o mais rápido do mundo na aceleração de 0 a 100 km/h, com 3,45 segundos:</p>
<center><iframe width="560" height="315" src="//www.youtube.com/embed/XtPU54iizFM" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>
<p>Último exemplo, o carro de controle remoto mais rápido do mundo é elétrico, atingiu 258,8 km/h:
<center><iframe width="480" height="360" src="//www.youtube.com/embed/CtYaKB-3ciw" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>
<br>
<p align="justify"><font color="#0080c0" size="4"><strong>Simplicidade <em>vs</em> Complexidade</strong></font></p>
<p align="justify">Nos vídeos acima já foram mostrados alguns aspectos da simplicidade do motor elétrico, como o fato de podermos girá-los com os dedos e de que o motor trabalha a uma temperatura muito menor que os motores a combustão, o que mostra que há menos desperdício de energia. Esta é uma das vantagens da simplicidade sobre a complexidade.</p>
<p align="justify">Outra vantagem é a construção e manutenção, que são obviamente muito mais fáceis. Por exemplo, você pode construir um brinquedo elétrico para seu filho:</p>
<center><iframe width="480" height="360" src="//www.youtube.com/embed/qGr4S63nu48" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>
<p align="justify">Ainda há mais uma vantagem do simples: é mais preciso! Compare nos próximos dois vídeos o funcionamento do menor motor a combustão do mundo (na verdade é a ar comprimido, mas o funcionamento é o mesmo) e um motor elétrico de tamanho equivalente. Qual você prefere?</p>
<center><iframe width="480" height="360" src="//www.youtube.com/embed/3YfTtGCsiD8" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>
<center><iframe width="480" height="360" src="//www.youtube.com/embed/hGMxGhpRHzA" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>
<p align="justify">Só o fato de existir motor elétrico menor que estes já mostra que o elétrico é mais preciso, mas também é mostrado na aceleração ainda em baixa rotação dos carros elétricos, muito superior aos carros movidos a gasolina.</p>
<p align="justify">Repare em quantas peças compõem o motor a combustão, só para movimentar tudo aquilo já é energia jogada fora, agora imagine quantos são os possíveis problemas que precisariam de manutenção especializada.</p><br>
<p align="justify"><font color="#0080c0" size="4"><strong>Fórmula E</strong></font></p>
<p align="justify">A FIA <a href="http://www.fia.com/championship/fia-formula-e-championship/2013/fia-formula-e-championship " target="_blank">anunciou a Fórmula E Championship</a> para 2014. Veja o vídeo de apresentação:</p>
<center><iframe width="560" height="315" src="//www.youtube.com/embed/n4gd5dw4m1Q" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>
<p align="justify">Eu vejo isso com muita desconfiança. A Fórmula E será uma competição justa que incentive o desenvolvimento tecnológico de carros elétricos, apenas com limitações de segurança (mais ou menos como é a fórmula 1), ou será uma competição super limitada por regras obscuras que não permitam seu desenvolvimento pleno, para que sirva de argumento contra os carros elétricos? </p>
<p align="justify">Em qualquer caso, esta competição trará o assunto à tona, e ficará cada vez mais difícil para as indústrias petrolífica e automobilística lutarem contra a ascenção dos carros elétricos.</p><br>
<p align="justify"><font color="#0080c0" size="4"><strong>Por fim</strong></font></p>
<p align="justify">Respondendo a pergunta do início, se podemos deixar de usar a gasolina sem abrir mão de qualquer “benefício”, é evidente que sim, não há um aspecto sequer em que a gasolina seja mais indicada que a eletricidade. Só há uma coisa que pode sustentar o uso do motor a combustão: o sistema monetário. Isto e outros benefícios de trocar veículos a gasolina por elétricos serão assuntos de futuras postagens. </p>
<p align="right">Opções de veículos elétricos no mercado brasileiro:<br><a href="http://www.abve.org.br/links/ListaLinks.asp?classe=0">http://www.abve.org.br/links/ListaLinks.asp?classe=0</a></p>
<p align="right">Clube do carro elétrico:<br><a href="http://clubedocarroeletrico.com.br/">http://clubedocarroeletrico.com.br/</a><br></p>Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/14605917674744886896noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4223996517250055407.post-73269750983887886752014-06-19T16:14:00.000-03:002016-08-20T23:31:12.101-03:00Vídeo: Professor de matemática que não gosta de matemática <p align="justify">Trecho retirado da <a href="https://www.youtube.com/watch?v=1jYRHQ8Cd-A" target="_blank">Tertúlia 3034: Matematicofobia</a>:
<center><iframe width="640" height="480" src="//www.youtube.com/embed/zbYANr4_oEc" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>
<a name='more'></a>
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<center><iframe width="640" height="480" src="//www.youtube.com/embed/7QQBwRHT6e0" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>
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<center><iframe width="640" height="480" src="//www.youtube.com/embed/Pn6MOOabGhQ" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>
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<center><iframe width="640" height="480" src="//www.youtube.com/embed/LgNpcQN0O0I" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>
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<center><iframe width="640" height="480" src="//www.youtube.com/embed/7NN4gDBkblI" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>
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<center><iframe width="640" height="480" src="//www.youtube.com/embed/7I-YJx-nt1s" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>
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<center><iframe width="640" height="480" src="//www.youtube.com/embed/K1b1Yqfl15s" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>
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<p align="justify">Veja também <a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2010/11/como-aprender-matematica-dicas.html" target="_blank">Como Aprender Matemática (dicas)</a>.</p>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/14605917674744886896noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-4223996517250055407.post-83362808417845041722014-06-19T15:56:00.000-03:002016-08-20T23:27:57.735-03:00Vídeo: Ensinar matemática mostrando o desenvolvimento histórico dos conceitos <p align="justify">Trecho retirado da <a href="https://www.youtube.com/watch?v=1jYRHQ8Cd-A" target="_blank">Tertúlia 3034: Matematicofobia</a>:
<center><iframe width="640" height="480" src="//www.youtube.com/embed/kwaBFdUqO04" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>
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<center><iframe width="640" height="480" src="//www.youtube.com/embed/A1F4FSq78m0" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>
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<center><iframe width="640" height="480" src="//www.youtube.com/embed/P-Ecu0Ziv1Y" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>
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<center><iframe width="640" height="480" src="//www.youtube.com/embed/hAmhIJxEnIw" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>
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<center><iframe width="640" height="480" src="//www.youtube.com/embed/pJfaW5QDs8M" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>
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<center><iframe width="640" height="480" src="//www.youtube.com/embed/tLdm2n3cr4c" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>
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<a name='more'></a>
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</script></center><br>
<a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2011/01/newton-da-costa-como-assim-nao-conhece.html" target="_blank">Newton da Costa - Como assim não conhece?</a>Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/14605917674744886896noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4223996517250055407.post-6050091085214980412013-12-06T15:25:00.000-02:002016-08-18T23:40:44.524-03:00Discutindo Curiosidades Matemáticas 2<p align="justify"><img align="right" src="https://lh3.googleusercontent.com/-bZIWbVvvx3Y/UPHsk4FO-fI/AAAAAAAABqU/doHU65u6Sco/s207/images.jpg" width="113" height="150">Demorei mas vou seguir a discussão iniciada no post <a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2011/03/discutindo-curiosidades-matematicas-1.html" target="_blank">Discutindo Curiosidades Matemáticas 1</a>, pois o leitor Lucas Bonfim forneceu uma boa referência para o tema, obrigado pela contribuição; um texto escrito pelo professor Carlos Gustavo Tamm de Araújo Moreira (Gugu), do IMPA: <a href="http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/artigos/magicos.pdf" target="_blank">Números Mágicos e Contas de Dividir</a>.</p><br>
<p align="justify"><font color="#0080c0" size="4"><strong>Lembrando da Curiosidade</strong></font></p>
<p align="justify">A curiosidade era o padrão cíclico destas multiplicações:</p>
<p align="justify">$$142857\times 2=285714.$$</p>
<p align="justify">$$142857\times 3=428571.$$</p>
<p align="justify">$$142857\times 4=571428.$$</p>
<p align="justify">$$142857\times 5=714285.$$</p>
<p align="justify">$$142857\times 6=857142.$$</p>
<p align="justify">$$142857\times 7=999999.$$</p>
<p align="justify">E a questão era saber por que isto acontece... seria coincidência?</p>
<a name='more'></a>
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<br>
<p align="justify"><font color="#0080c0" size="4"><strong>A Solução do Gugu</strong></font></p>
<p align="justify">O número $142857$ é exatamente a sequência dos algarismos da dízima periódica da fração $\frac{1}{7}=0,\overline{142857}$ (onde a linha superior indica a dízima periódica). Vamos ver o que isto tem a ver com a curiosidade.</p>
<p align="justify">Vamos analisar a divisão de $1$ por $7$ passo a passo. Pelo algoritmo da divisão:</p>
<ol>
<li>$\qquad\ \ 1=0\times 7+1.$
<li>$\qquad 10=1\times 7+3.$
<li>$\qquad 30=4\times 7+2.$
<li>$\qquad 20=2\times 7+6.$
<li>$\qquad 60=8\times 7+4.$
<li>$\qquad 40=5\times 7+5.$
<li>$\qquad 50=7\times 7+1.$</li></ol>
<p align="justify">A partir daí o processo se repete (daí a dízima periódica). Multiplicando a segunda igualdade por $10$ e substituindo o $30$ pelo item 3. acima:</p>
<p>$$100-7\times 10=30\qquad\Longrightarrow\qquad 100-7\times 10=4\times 7+2.$$ </p>
<p align="justify">Temos (processo análogo para as seguintes),
<ol>
<li><br>$\qquad\qquad\qquad\qquad 100-7\times (10+4)=2 \qquad\Longrightarrow\qquad 100-7\times 14=2$.<br><br>
<li><br>$\qquad\qquad\qquad 1000-7\times (100+40+2)=6\qquad\Longrightarrow\qquad 1000-7\times 142=6$.<br> <br>
<li><br>$\qquad\qquad 10000-7\times (1000+400+20+8)=4\qquad\Longrightarrow\qquad 10000-7\times 1428=4$.<br> <br>
<li><br>$\ \ \ 100000-7\times (10000+4000+200+80+5)=5\qquad\Longrightarrow\qquad 100000-7\times 14285=5$.<br> <br>
<li>$1000000-7\times (100000+40000+2000+800+50+7)=1 \Longrightarrow 1000000-7\times 142857=1$.<br>(Veja que este último caso é o $999999=7\times 142857$.) </li></ol>
<p align="justify">Agora, pelo item 1. dividido por $7$, temos</p>
<p align="justify">$$2\times \frac{1}{7}=100\times \frac{1}{7}-14.$$ </p>
<p align="justify">Em forma decimal,</p>
<p align="justify">$$2\times 0,\overline{142857}=100\times 0,\overline{142857}-14.$$</p>
<p align="justify">$$2\times 0,\overline{142857}=14,\overline{285714}-14.$$
<p align="justify">$$2\times 0,\overline{142857}=0,\overline{285714}.$$
<p align="justify">Multiplicando por $1000000$:
<p align="justify">$$2\times 142857,\overline{142857}=285714,\overline{285714}.$$
<p align="justify">$$2\times (142857+0,\overline{142857})=285714+0,\overline{285714}.$$
<p align="justify">$$2\times 142857+2\times 0,\overline{142857})=285714+0,\overline{285714}.$$
<p align="justify">Cortando os dois termos iguais (as dízimas),
<p align="justify">$$2\times 142857=285714.$$</p><br>
<p align="justify">Os outros itens são análogos. Vou fazer mais um só para ficar mais confortável, hehe. Pelo item 2. dividido por $7$, temos
<p align="justify">$$6\times \frac{1}{7}=1000\times \frac{1}{7}-142.$$
<p align="justify">
<p>Em forma decimal,
<p>$$6\times 0,\overline{142857}=1000\times 0,\overline{142857}-142.$$
<p>$$6\times 0,\overline{142857}=142,\overline{857142}-142.$$
<p>$$6\times 0,\overline{142857}=0,\overline{857142}.$$
<p>Multiplicando por $1000000$:
<p>$$6\times 142857,\overline{142857}=857142,\overline{857142}.$$
<p>$$6\times (142857+0,\overline{142857})=857142+0,\overline{857142}.$$
<p>$$6\times 142857+2\times 0,\overline{142857})=857142+0,\overline{857142}.$$
<p>Cortando os dois termos iguais (as dízimas),
<p>$$6\times 142857=857142.$$</p>
<p align="justify">Eis o motivo algébrico a mais do que simplesmente dizer que é coincidência!</p><br>
<p align="justify"><font color="#0080c0" size="4"><strong>A mesma curiosidade com outros números</strong></font></p>
<p align="justify">Esse fenômeno cíclico acontece sempre que o período da representação decimal de $\frac{1}{n}$, $n\in\mathbb{N}$, for o maior possível ($n-1$).
<p align="justify">Por exemplo, para $n=17$, $\frac{1}{17}=0,\overline{0588235294117647}$:</p><br>
<ol>
<li>
<p>$\qquad\ 588235294117647\times 2=1176470588235294.$ </p>
<li>
<p>$\qquad\ 588235294117647\times 3=1764705882352941.$</p>
<li>
<p>$\qquad\ 588235294117647\times 4=2352941176470588.$</p>
<li>
<p>$\qquad\ 588235294117647\times 5=2941176470588235.$</p>
<li>
<p>$\qquad\ 588235294117647\times 6=3529411764705882.$</p>
<li>
<p>$\qquad\ 588235294117647\times 7=4117647058823529.$</p>
<li>
<p>$\qquad\ 588235294117647\times 8=4705882352941176.$</p>
<li>
<p>$\qquad\ 588235294117647\times 9=5294117647058823.$</p>
<li>
<p>$\qquad 588235294117647\times 10=5882352941176470.$</p>
<li>
<p>$\qquad 588235294117647\times 11=6470588235294117.$</p>
<li>
<p>$\qquad 588235294117647\times 12=7058823529411764.$</p>
<li>
<p>$\qquad 588235294117647\times 13=7647058823529411.$</p>
<li>
<p>$\qquad 588235294117647\times 14=8235294117647058.$</p>
<li>
<p>$\qquad 588235294117647\times 15=8823529411764705.$</p>
<li>
<p>$\qquad 588235294117647\times 16=9411764705882352.$</p>
<li>
<p>$\qquad 588235294117647\times 17=9999999999999999.$</p></li></ol>Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/14605917674744886896noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4223996517250055407.post-25698782326454600372013-12-04T22:32:00.000-02:002016-08-18T23:40:37.251-03:00Experimento em Sala: Torque e Momento<p align="justify"><img style="display: inline; margin-left: 0px; margin-right: 0px" align="right" src="https://lh5.googleusercontent.com/-3xpnXe1Gb04/Up_AGG5NVSI/AAAAAAAADQ8/z55Ufff3WS8/w195-h242-no/momento.gif" width="190" height="235">Isso que é aula de Física!</p>
<p align="justify">Apesar de ter estudado estes conceitos no ensino médio e na faculdade, só percebi o fenômeno quando estava mexendo na roda da minha bicicleta. Isto mostra a importância de uma boa aula experimental.</p>
<p align="justify">Como diz o professor no vídeo, em 39:10 (39 minutos e 10 segundos):<br> <b>Nada disso é intuitivo! Nada disso é intuitivo!</b></p>
<p align="justify">Destaco os experimentos entre:</p>
<ul>
<li>23:00 e 23:30;</li>
<li>35:45 e 39:15;</li>
<li>45:50 e 49:10.</li>
</ul>
<br>
<a name='more'></a>
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<center><iframe width="640" height="480" src="//www.youtube.com/embed/zLy0IQT8ssk" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/14605917674744886896noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4223996517250055407.post-5892249464179906222013-12-04T16:19:00.000-02:002016-08-18T23:40:30.074-03:00Experimento em Sala: Curvatura do Espaço-Tempo<p align="justify"><img style="display: inline; margin-left: 0px; margin-right: 0px" align="right" src="https://lh6.googleusercontent.com/-Fu7j7JpxM4I/Up9tGi6XpJI/AAAAAAAADQo/joyK2DbBYzY/w516-h387-no/Curvatura+EspacoTempo.jpg" width="250" height="188">Isso que é aula de Física!</p>
<p align="justify">Apesar do experimento ter uma dimensão a menos que a realidade estudada, uma aula dessa é muito importante para criar a intuição do fenômeno, frequentemente estudado de forma puramente abstrata.</p>
<ul>
<li>Já escrevi sobre este assunto: <br><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2010/10/historia-da-geometria-5-de-5.html" target="_blank">História da Geometria (5 de 5) - A Geometria Aplicada.</a></li>
<li>E já divulguei uma animação computadorizada sobre isso: <br><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2010/07/video-tempo-espaco-e-gravidade.html" target="_blank">Vídeo: Tempo Espaço e a Gravidade.</a></li></ul><a name='more'></a><br>
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<center><iframe width="640" height="360" src="//www.youtube.com/embed/MTY1Kje0yLg" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></center>Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/14605917674744886896noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4223996517250055407.post-9990415568426027032013-11-13T11:26:00.000-02:002016-08-18T23:40:21.759-03:00Sistemas Lineares 3 - Sistemas Equivalentes e Operações Elementares<p align="justify"><img style="display: inline; margin-left: 0px; margin-right: 0px" align="right" src="https://lh3.googleusercontent.com/-oXGIpHTDvrc/UoN4hAp285I/AAAAAAAADPQ/Nve526CPtdg/w173-h151-no/Sistemas_Equivalentes_Operacoes_Elementares.png"> <br>Esta postagem é o fundamento do método de eliminação de Gauss ou escalonamento para resolver sistemas de equações lineares, assunto que será apresentado na próxima postagem.</p>
<p align="justify"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2011/02/sistemas-lineares-1-ensino-fundamental.html" target="_blank">Sistemas lineares 1 - Ensino Fundamental.</a><br><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/11/sistemas-lineares-2-interpretacao.html" target="_blank">Sistemas lineares 2 - Interpretação Geométrica.</a><br><font color="#808080">Sistemas lineares 4 - Método de Eliminação de Gauss ou Escalonamento.</font></p><br><a name='more'></a>
<blockquote>
<p align="justify"><strong>Definição:</strong> Dizemos que dois sistemas de equações lineares com as mesmas incógnitas são <i>equivalentes</i> se eles possuem a(s) mesma(s) solução(ões).</p></blockquote>
<p align="justify">Quando resolvemos um sistema linear (no caso de ter solução única), no processo das substituições, o que fazemos na verdade é passar por alguns sistemas equivalentes ao original até chegar ao sistema trivial “com cada incógnita igual a uma constante”. Por exemplo (já resolvido em <a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2011/02/sistemas-lineares-1-ensino-fundamental.html" target="_blank">Sistemas lineares 1</a>): </p>
<p align="justify">$$\begin{array}{lclcl} \left\{ \begin{array}{l} x+y=3000 \\ x=y+400 \\ \end{array} \right. & \Longleftrightarrow & \left\{ \begin{array}{l} (y+400)+y=3000 \\ x=y+400 \\ \end{array} \right. & \Longleftrightarrow & \left\{ \begin{array}{l} y=1300 \\ x=y+400 \\ \end{array} \right. \end{array}$$ </p>
<p align="justify">$$\begin{array}{clcl} \Longleftrightarrow & \left\{ \begin{array}{l} y=1300 \\ x=(1300)+400 \\ \end{array} \right. & \Longleftrightarrow & \left\{ \begin{array}{l} y=1300 \\ x=1700. \\ \end{array} \right. \end{array}$$ </p>
<div style="display: inline; float: right; margin-left: 5px">
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</div>
<p align="justify">É claro que só foi razoável escrever todos esses passos porque este sistema é muito simples. Quando o sistema tem muitas equações e muitas incógnitas, o método da substituição fica impraticável. </p>
<p align="justify">Por isso o método de eliminação de Gauss ou escalonamento é importante, ele faz esses passos de maneira mais organizada e para qualquer sistema.</p>
<p align="justify">Vamos ver quais operações podemos fazer no sistema sem alterar as soluções. São as <em>operações elementares</em> (denotaremos cada equação por $L_i$, onde o índice $i$ é o número da linha que a equação se encontra): </p>
<ol>
<li>
<p align="justify">Trocar a posição de duas equações.<br>Notação: $L_i\longleftrightarrow L_j$. </p>
<li>
<p align="justify">Substituir uma equação por um múltiplo não nulo de si mesma, ou seja, multiplicar a ambos os membros de uma equação por uma constante diferente de zero $k\in\mathbb{R}$.<br>Notação: $L_i\longleftarrow kL_i$. </p>
<li>
<p align="justify">Substituir uma equação por um múltiplo de outra equação somada a si mesma.<br>Notação: $L_j\longleftarrow kL_i+L_j$. </p></li></ol>
<p align="justify">Vamos entender porque efetuar essas operações não muda as soluções do sistema: </p>
<p align="justify">Acho que quanto à primeira operação não há problemas, vamos discutir a segunda: Suponha que temos uma equação $2x-3y=-8$. As soluções desta equação são os pontos (ou vetores) da forma $$\left(\frac{3y-8}{2},y\right)\in\mathbb{R}^2,\qquad\text{pois}\ \ x=\frac{3y-8}{2}.$$ Fazer a segunda operação é trocar esta equação por $k(2x-3y)=k(-8)$, para algum número real $k\neq 0$. Quais são as soluções desta nova equação? Para tentar responder esta pergunta, você voltará à equação anterior, por isso elas têm as mesmas soluções. </p>
<p align="justify">Sobre a terceira operação, vamos efetuá-la num exemplo: $$\begin{array}{lcl} \left\{ \begin{array}{l} 2x-3y=-8 \\ 3x+4y=5 \\ \end{array} \right. \ \ \ & \stackrel{L_2\longleftarrow kL_1+L_2}{\longrightarrow} & \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} 2x-3y=-8 \\ k(2x-3y)+3x+4y=k(-8)+5. \\ \end{array} \right. \end{array}$$ No último sistema, a primeira equação é equivalente a $k(2x-3y)=k(-8)$, o que significa que podemos fazer a simplificação (cortando os termos sublinhados) na segunda equação: $$\underline{k(2x-3y)}+3x+4y=\underline{k(-8)}+5.$$ Assim voltamos ao primeiro sistema, ou seja, os dois sistemas são equivalentes.</p>
<p align="justify">Na próxima postagem vamos ver como usar essas operações para eliminar incógnitas e resolver sistemas.</p>Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/14605917674744886896noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4223996517250055407.post-79754426944977425722013-11-07T23:27:00.000-02:002016-08-18T23:39:50.951-03:00Sistemas Lineares 2 - Interpretação Geométrica<p align="justify"><img style="display: inline; margin-left: 0px; margin-right: 0px" align="right" src="https://lh3.googleusercontent.com/-aFke8Og2jYE/Unvv0_ougYI/AAAAAAAADNU/li4fyP5wRaI/w1118-h664-no/planos.png" width="250" height="149"> Esta é uma continuação natural de <a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2011/02/sistemas-lineares-1-ensino-fundamental.html" target="_blank">Sistemas lineares – 1 (ensino fundamental)</a>.</p>
<p align="justify">Esta interpretação geométrica é melhor fundamentada com algum conhecimento de Geometria Analítica, mas já é possível aguçar a intuição sobre sistemas lineares mesmo de quem nunca ouviu falar de Geometria Analítica. Por isso avalio esta postagem para <a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/search/label/Ensino%20M%C3%A9dio" target="_blank">nível de ensino médio</a>.</p>
<p align="justify">Na postagem anterior fizemos distinção de sistemas com solução única, infinitas soluções e nenhuma solução, agora vai ficar mais fácil enxergar isso.</p><a name='more'></a><center><script type="text/javascript"><!--
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<p align="justify"><strong>Pergunta:</strong> Uma, nenhuma ou infinitas soluções; por que não pode ter, digamos, exatamente duas soluções?</p><br>
<p align="justify"><font color="#0080c0" size="4"><strong>Duas incógnitas</strong></font></p>
<p align="justify">Qualquer equação da forma $ax+by=c$ representa uma reta, ou seja, se marcarmos todos os pontos $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, no sistema cartesiano, que satisfazem à esta equação, o gráfico resultante é uma reta (são infinitos valores).
<p align="justify">Se tivermos <strong>duas equações</strong> desta forma, teremos duas retas no plano. As soluções do sistema são representadas pelos pontos em comum das duas retas. As duas retas podem:
<ol>
<li>
<div align="justify">ser paralelas. O que significa que o sistema não tem solução; </div>
<li>
<div align="justify">ser concorrentes. O sistema tem uma única solução; </div>
<li>
<div align="justify">ser coincidentes. O sistema tem infinitas soluções. </div></li></ol>
<p align="justify"><img style="display: block; float: none; margin-left: auto; margin-right: auto" src="https://lh3.googleusercontent.com/-vYbwhBK4ASg/Unv0qK-7hDI/AAAAAAAADNo/9H1Vg3e_lUM/w1117-h287-no/retas.png" width="500" height="129"> </p><br>
<p align="justify"><font color="#0080c0" size="4"><strong>Três incógnitas</strong></font></p>
<p align="justify">Qualquer equação da forma $ax+by+cz=d$ representa um plano, isto é, se marcarmos todos os pontos $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ que satisfazem à esta equação no sistema cartesiano, o gráfico resultante é um plano (são infinitos valores).
<p align="justify">Se tivermos <strong>duas equações</strong> desta forma, teremos dois planos no espaço. As soluções do sistema são representadas pelos pontos em comum dos dois planos. Os dois planos podem:
<ol>
<li>
<div align="justify">ser paralelos. O sistema não tem solução; </div>
<li>
<div align="justify">ser concorrentes. O sistema tem infinitas soluções, descritas por uma reta; </div>
<li>
<div align="justify">ser coincidentes. O sistema tem infinitas soluções, descritas pelo próprio plano. <br>(Repare que não existe o caso de uma única solução. Por que?) </div></li></ol>
<p align="justify"><img style="display: block; float: none; margin-left: auto; margin-right: auto" src="https://lh4.googleusercontent.com/-vtT3v1HMnVo/Unv-F31BvoI/AAAAAAAADOM/5zGHLpqnP0c/w665-h183-no/Dois_planos.png" width="450" height="124"> </p><br>
<p align="justify">Se tivermos <strong>três equações</strong> desta forma, teremos três planos no espaço. As soluções do sistema são representadas pelos pontos em comum dos três planos. Os três planos podem:
<ol>
<li>
<div align="justify">ser paralelos dois a dois. O sistema não tem solução; </div>
<li>
<div align="justify">ser dois coincidentes e o outro paralelo. O sistema não tem solução; </div>
<li>
<div align="justify">ser coincidentes. O sistema tem infinitas soluções, descritas pelo plano;</div>
<li>
<div align="justify">ser dois coincidentes e o outro concorrente. O sistema tem infinitas soluções, descritas por uma reta; </div>
<li>
<div align="justify">se intersectar em uma reta. O sistema tem infinitas soluções, descritas por uma reta; </div>
<li>
<div align="justify">ser dois paralelos e outro concorrente. O sistema não tem solução; </div>
<li>
<div align="justify">se intersectar dois a dois determinando três retas paralelas. Não tem solução; </div>
<li>
<div align="justify">se intersectar dois a dois determinando três retas que se intersectam em apenas um ponto (visualizar o canto de uma sala). Tem uma única solução. </div></li></ol>
<p align="justify"><img style="display: block; float: none; margin-left: auto; margin-right: auto" src="https://lh5.googleusercontent.com/-0qqdhqwTdXY/Unv6x5q1irI/AAAAAAAADN8/yCiY5jhwYso/w850-h429-no/varios_planos.png" width="600" height="303"></p><br>
<p align="justify"><strong>Observação:</strong> Além da distinção entre nenhuma, uma única ou infinitas soluções, já é possível perceber que existe mais um conceito no caso das soluções infinitas. Eu escrevi "infinitas soluções descritas por uma reta" e "infinitas soluções descritas pelo plano". Isto é indício de que, quando temos infinitas soluções, tem ainda a questão de quantas dimensões elas determinam.</p>Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/14605917674744886896noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-4223996517250055407.post-39091069809433005472013-10-12T16:38:00.000-03:002016-08-18T23:39:38.865-03:00Provas Resolvidas: Álgebra Linear Aplicada<p align="justify"><img align="right" src="https://lh4.googleusercontent.com/-uGqE08KGawE/UlmJ7LgMWGI/AAAAAAAADI8/ZxJSZB0uLKw/w252-h211-no/resolvido.gif" width="160" height="130"><br>Segue a organização das resoluções das provas de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de pós graduação em matemática da UFPR. A maioria dos exercícios estão disponíveis na <a href="http://www.mat.ufpr.br/ppgma/curriculo/qualificacao.html" target="_blank">página do programa</a>.</p>
<p align="justify">Clique na questão correspondente para ver a resolução. Se não houver link, a questão ainda não foi resolvida.</p>
<a name='more'></a><br>
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</script></center>
<p align="justify"><font color="#0000ff" size="4"><strong>Prova 03/2003</strong></font> </p>
<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="2" width="600">
<tbody>
<tr>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/03/algebra-linear-aplicada-exer-22.html" target="_blank"><strong>Questão 1</strong></a></td>
<td valign="top" width="70" align="middle">Questão 2</td>
<td valign="top" width="70" align="middle">Questão 3</td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/03/algebra-linear-aplicada-exer-20.html" target="_blank"><strong>Questão 4</strong></a> </td>
<td valign="top" width="70" align="middle">Questão 5</td></tr></tbody></table><br><br>
<p align="justify"><font color="#0000ff" size="4"><strong><strong>Prova 08/2003</strong></strong></font> </p>
<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="2" width="600">
<tbody>
<tr>
<td valign="top" width="70" align="middle">Questão 1</td>
<td valign="top" width="70" align="middle">Questão 2</td>
<td valign="top" width="70" align="middle">Questão 3</td>
<td valign="top" width="70" align="middle">Questão 4 </td></tr></tbody></table><br><br>
<p align="justify"><font color="#0000ff" size="4"><strong>Prova 2007</strong></font> </p>
<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="2" width="600">
<tbody>
<tr>
<td valign="top" width="70" align="middle">Questão 1</td>
<td valign="top" width="70" align="middle">Questão 2</td>
<td valign="top" width="70" align="middle">Questão 3</td></tr></tbody></table><br><br>
<p align="justify"><font color="#0000ff" size="4"><strong>Prova 04/2009</strong></font> </p>
<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="2" width="600">
<tbody>
<tr>
<td valign="top" width="70" align="middle">Questão 1</td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/01/algebra-linear-aplicada-exer-1.html" target="_blank"><strong>Questão 2</strong></a></td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/03/algebra-linear-aplicada-exer-21.html" target="_blank"><strong>Questão 3</strong></a></td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/03/algebra-linear-aplicada-exer-28.html" target="_blank"><strong>Questão 4</strong></a> </td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/03/algebra-linear-aplicada-exer-29.html" target="_blank"><strong>Questão 5</strong></a></td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/03/algebra-linear-aplicada-exer-27.html" target="_blank"><strong>Questão 6</strong></a></td></tr></tbody></table><br><br>
<p align="justify"><font color="#0000ff" size="4"><strong>Prova 08/2009</strong></font> </p>
<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="2" width="600">
<tbody>
<tr>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/02/algebra-linear-aplicada-exer-12.html" target="_blank"><strong>Questão 1</strong></a></td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/02/algebra-linear-aplicada-exer-11.html" target="_blank"><strong>Questão 2</strong></a></td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/02/algebra-linear-aplicada-exer-16.html" target="_blank"><strong>Questão 3</strong></a></td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/02/algebra-linear-aplicada-exer-13.html" target="_blank"><strong>Questão 4</strong></a> </td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/02/algebra-linear-aplicada-exer-17.html" target="_blank"><strong>Questão 5</strong></a><strong> </strong><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/02/algebra-linear-aplicada-exer-17.html" target="_blank"><strong>LU</strong></a><strong> <a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/03/algebra-linear-aplicada-exer-19.html" target="_blank">QR</a></strong></td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/02/algebra-linear-aplicada-exer-15.html" target="_blank"><strong>Questão 6</strong></a></td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/02/algebra-linear-aplicada-exer-14.html" target="_blank"><strong>Questão 7</strong></a></td></tr></tbody></table><br><br>
<p align="justify"><font color="#0000ff" size="4"><strong>Prova 12/2009</strong></font> </p>
<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="2" width="600">
<tbody>
<tr>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/01/algebra-linear-aplicada-exer-2.html" target="_blank"><strong>Questão 1</strong></a></td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/02/algebra-linear-aplicada-exer-18.html" target="_blank"><strong>Questão 2</strong></a></td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/01/algebra-linear-aplicada-exer-3.html" target="_blank"><strong>Questão 3</strong></a></td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/03/algebra-linear-aplicada-exer-23.html" target="_blank"><strong>Questão 4</strong></a> </td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/01/algebra-linear-aplicada-exer-4.html" target="_blank"><strong>Questão 5</strong></a></td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/02/algebra-linear-aplicada-exer-5.html" target="_blank"><strong>Questão 6</strong></a></td></tr></tbody></table><br><br>
<p align="justify"><font color="#0000ff" size="4"><strong><strong>Prova 2010</strong></strong></font> </p>
<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="2" width="600">
<tbody>
<tr>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/02/algebra-linear-aplicada-exer-10.html" target="_blank"><strong>Questão 1</strong></a></td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/02/algebra-linear-aplicada-exer-6.html" target="_blank"><strong>Questão 2</strong></a></td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/03/algebra-linear-aplicada-exer-24.html" target="_blank"><strong>Questão 3</strong></a></td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/03/algebra-linear-aplicada-exer-26.html" target="_blank"><strong>Questão 4</strong></a> </td>
<td valign="top" width="70" align="middle">Questão 5</td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/02/algebra-linear-aplicada-exer-18.html" target="_blank"><strong>Questão 6</strong></a></td></tr></tbody></table><br><br>
<p align="justify"><font color="#0000ff" size="4"><strong>Prova 03/2012</strong></font> </p>
<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="2" width="600">
<tbody>
<tr>
<td valign="top" width="70" align="middle">Questão 1</td>
<td valign="top" width="70" align="middle">Questão 2</td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/02/algebra-linear-aplicada-exer-9.html" target="_blank"><strong>Questão 3</strong></a></td>
<td valign="top" width="70" align="middle">Questão 4 </td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/01/algebra-linear-aplicada-exer-4.html" target="_blank"><strong>Questão 5</strong></a></td>
<td valign="top" width="70" align="middle">Questão 6</td></tr></tbody></table><br><br>
<p align="justify"><font color="#0000ff" size="4"><strong>Prova 08/2012</strong></font> </p>
<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="2" width="600">
<tbody>
<tr>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/02/algebra-linear-aplicada-exer-6.html" target="_blank"><strong>Questão 1</strong></a></td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/02/algebra-linear-aplicada-exer-7.html" target="_blank"><strong>Questão 2</strong></a></td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/02/algebra-linear-aplicada-exer-8.html" target="_blank"><strong>Questão 3</strong></a></td>
<td valign="top" width="70" align="middle">Questão 4 </td>
<td valign="top" width="70" align="middle">Questão 5</td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/03/algebra-linear-aplicada-exer-25.html" target="_blank"><strong>Questão 6</strong></a></td></tr></tbody></table><br><br>
<p align="justify"><font color="#0000ff" size="4"><strong>Prova 03/2013</strong></font> </p>
<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="2" width="600">
<tbody>
<tr>
<td valign="top" width="70" align="middle">Questão 1</td>
<td valign="top" width="70" align="middle">Questão 2</td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/03/algebra-linear-aplicada-exer-26.html" target="_blank"><strong>Questão 3</strong></a></td>
<td valign="top" width="70" align="middle">Questão 4 </td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/03/algebra-linear-aplicada-exer-22.html" target="_blank"><strong>Questão 5</strong></a></td>
<td valign="top" width="70" align="middle"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/03/algebra-linear-aplicada-exer-29.html" target="_blank"><strong>Questão 6</strong></a></td></tr></tbody></table><br><br>
<p align="justify"><font color="#0000ff" size="4"><strong>Prova 07/2013</strong></font> </p>
<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="2" width="600">
<tbody>
<tr>
<td valign="top" width="70" align="middle">Questão 1</td>
<td valign="top" width="70" align="middle">Questão 2</td>
<td valign="top" width="70" align="middle">Questão 3</td>
<td valign="top" width="70" align="middle">Questão 4 </td>
<td valign="top" width="70" align="middle">Questão 5</td></tr></tbody></table><br><br>Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/14605917674744886896noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4223996517250055407.post-67788685781207787572013-03-05T19:37:00.003-03:002016-08-18T23:39:30.308-03:00Álgebra Linear Aplicada - Exer. 29 - Qualificação<p align="justify"><img align="right" src="https://lh4.googleusercontent.com/-HzEifxZ9ubA/UTZyCRHtAqI/AAAAAAAABzY/hvX9_vStbDw/s203/definidapositiva.png" width="150" height="108">Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na <a href="http://www.mat.ufpr.br/ppgma/curriculo/qualificacao.html" target="_blank">página do programa</a>. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc. </p><p align="justify"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/10/provas-resolvidas-algebra-linear.html" target="_blank">Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada</a>. <br />
<p align="justify">Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução. <br />
<p align="justify"><font color="#0000ff" size="4"><strong>Exercício:</strong></font> (número 5 da prova de 06/04/2009 e número 6 da prova de março de 2013)</p><p align="justify">Seja $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ uma matriz simétrica. Mostre que $f(x)=\sqrt{x^TAx}$ define uma norma em<br />
$\mathbb{R}^n$ se e somente se $A$ é definida positiva.<br />
<p align="justify"><strong>Dica:</strong> Fatoração de Cholesky pode ser útil para mostrar a desigualdade triangular.<br />
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</script></center><p align="justify"><font color="#0000ff" size="4"><strong>Resolução:</strong></font> (Vide comentários sobre a questão de 2013 abaixo da resolução.) <br />
<p align="justify">A função $f$ define uma norma em $\mathbb{R}^n$ se <br />
<p align="justify">i) $f(x)\geq 0$, $\forall x\in\mathbb{R}^n$;<br />
<p align="justify">ii) $f(x)=0$ se, e somente se, $x=0$;<br />
<p align="justify">iii) $f(\alpha x)=|\alpha|f(x)$, $\forall x\in\mathbb{R}^n$, $\forall \alpha\in\mathbb{R}$;<br />
<p align="justify">iv) $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$, $\forall x,y\in\mathbb{R}^n$.<br />
<div><font color='#ffffff'>.</font></div><p align="justify">A matriz $A$ é positiva definida se $x^TAx>0$, $\forall x\in\mathbb{R}^n-\{0\}$.<br />
<div><font color='#ffffff'>.</font></div><div><font color='#ffffff'>.</font></div><p align="justify">($\Rightarrow$) Se $f$ define uma norma, combinando i) e ii) segue imediatamente que $A$ é positiva definida. <br />
<div><font color='#ffffff'>.</font></div><p align="justify">($\Leftarrow$) Se $A$ é definida positiva, por definição segue que $f$ cumpre i) e ii). Verificar a terceira, para $x$ e $\alpha$ quaisquer,<br />
$$f(\alpha x)=\sqrt{(\alpha x)^TA(\alpha x)}=\sqrt{\alpha^2}\sqrt{x^TAx}=|\alpha|f(x).$$<br />
E a quarta, por fatoração de Cholesky existe $B$ tal que $A=B^TB$, então<br />
$$f(x)=\sqrt{x^TAx}=\sqrt{x^TB^TBx}=\sqrt{(Bx)^TBx}=\left\|Bx\right\|.$$<br />
<p align="justify">Portanto, para quaisquer $x$ e $y$,<br />
$$f(x+y)=\left\|B(x+y)\right\|=\left\|Bx+By\right\|\leq\left\|Bx\right\|+\left\|By\right\|=f(x)+f(y).$$<br />
<p align="justify">Como queríamos demonstrar.<br><br><br>
<p align="justify"><b>Comentários sobre a questão de 2013.</b> Neste ano a questão foi enunciada assim:<blockquote>Prove que $f(x)=x^TAx$ é uma norma de vetor se e somente se $A$ é simétrica e positiva definida.</blockquote>
<ul><li><p align="justify">Faltou dizer quem é $A$, é necessário dizer que é uma matriz em $\mathbb{R}^{n\times n}$.</li>
<li><p align="justify">Faltou a raiz quadrada na definição de $f$. Sem isso falham os itens iii e iv demonstrados acima. </li>
<li><p align="justify">A hipótese de simetria de $A$ está colocada apenas de um lado da "equivalência", o que invalida o resultado. De fato, veja o seguinte contra-exemplo:
$$\sqrt{x^TAx}=\sqrt{\begin{pmatrix}
x_1 & x_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}}=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$$
é uma norma, mas a matrix
$$A=\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{pmatrix}$$
não é simétrica.
</li></ul>
São muitos erros para uma questão só!Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/14605917674744886896noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4223996517250055407.post-76215336052123783242013-03-04T23:48:00.004-03:002016-08-18T23:39:22.434-03:00Álgebra Linear Aplicada - Exer. 28 - Qualificação<p align="justify"><img align="right" src="https://lh5.googleusercontent.com/-wSgByTsLzM8/UTJjKCegWoI/AAAAAAAAByo/k8pmMysgGXA/s477/decomposicao_valor_singular.png" width="190" height="160">Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na <a href="http://www.mat.ufpr.br/ppgma/curriculo/qualificacao.html" target="_blank">página do programa</a>. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc. </p><p align="justify"><a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/10/provas-resolvidas-algebra-linear.html" target="_blank">Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada</a>. <p align="justify">Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução. <p align="justify"><font color="#0000ff" size="4"><strong>Exercício:</strong></font> (número 4 da prova de 06/04/2009)</p><p align="justify">Use o método de decomposição em valor singular (SVD) para:<ul><li>provar que toda matriz $A$ pode ser representada através de uma combinação linear de matrizes de posto um.</li>
<li>assumindo que os valores singulares são positivos, encontrar uma fórmula para a solução por quadrados mínimos do sistema linear $Ax=b$.</li></ul><a name='more'></a><center><script type="text/javascript"><!--
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</script></center><p align="justify"><font color="#0000ff" size="4"><strong>Resolução:</strong></font><p align="justify"><ul><li><p align="justify">Mais um exemplo de enunciado mal escrito. Para mostrar o fato do primeiro item, basta escrever a matriz $A$ como soma de matrizes cuja única entrada diferente de zero é uma entrada da matriz $A$ na sua respectiva posição (outra maneira trivial é escrever $A$ como soma de matrizes que cada uma tem uma linha de $A$, ou ainda uma coluna de $A$), e isso nada tem a ver com SVD. Não vejo como arrumar este enunciado com mudanças pequenas, acho que deveria simplesmente pedir para demonstrar a fórmula <br />
$$A=\sum_{j=1}^r{\sigma_ju_jv_j^T}.$$<br />
<p align="justify">Vamos começar. Como não foi especificado, vou escolher o ambiente da matriz em questão: $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$, de posto $r$.<br />
<p align="justify">Por decomposição em valores singulares na forma reduzida, $A_{m\times n}=U_{m\times r}\Sigma_{r\times r}(V^T)_{r\times n}$. Podemos escrever $\Sigma_{r\times r}$ como soma de $r$ matrizes,<br />
$$\Sigma_{r\times r}=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\sigma_1 \\<br />
& \sigma_2 \\<br />
& & \ddots \\<br />
& & & \sigma_r <br />
\end{pmatrix}$$<br />
$$=\begin{pmatrix}<br />
\sigma_1 \\<br />
& 0 \\<br />
& & \ddots \\<br />
& & & 0 <br />
\end{pmatrix}+<br />
\begin{pmatrix}<br />
0 \\<br />
& \sigma_2 \\<br />
& & \ddots \\<br />
& & & 0 <br />
\end{pmatrix}+\cdots+<br />
\begin{pmatrix}<br />
0 \\<br />
& 0 \\<br />
& & \ddots \\<br />
& & & \sigma_r <br />
\end{pmatrix}$$<br />
$$=\Sigma_1+\Sigma_2+\cdots+\Sigma_r.$$<br />
<p align="justify">Portando,<br />
$$A=U(\Sigma_1+\Sigma_2+\cdots+\Sigma_r)V^T=U\Sigma_1 V^T+U\Sigma_2 V^T+\cdots+U\Sigma_r V^T.$$<br />
<p align="justify">Pelo enunciado, aqui já é o suficiente, pois nesta soma cada matriz tem posto $1$. Mas vamos chegar àquela fórmula que propus acima. <br />
<p align="justify">Vou escrever as coordenadas dos vetores $v_j$ e $u_j$ assim: $v_j=(v_{j1},v_{j2},...,v_{jn})$ e $u_j=(u_{j1},u_{j2},...,u_{jn})$. Para cada matriz da soma acima,<br />
$$U\Sigma_j V^T=U\begin{pmatrix}<br />
0 \\<br />
& \ddots \\<br />
& & \sigma_j \\<br />
& & & \ddots \\<br />
& & & & 0 <br />
\end{pmatrix}<br />
\begin{pmatrix}<br />
& & v_1 & & \\<br />
\hline<br />
& & \vdots & & \\<br />
\hline<br />
& & v_j & & \\<br />
\hline<br />
& & \vdots & & \\<br />
\hline<br />
& & v_r & &<br />
\end{pmatrix}$$<br />
$$=\begin{pmatrix}<br />
& | & & | & & | & & | & \\<br />
& | & & | & & | & & | & \\<br />
u_1 & | & \cdots & | & u_j & | & \cdots & | & u_r \\<br />
& | & & | & & | & & | & \\<br />
& | & & | & & | & & | & <br />
\end{pmatrix}<br />
\begin{pmatrix}<br />
0 & 0 & \cdots & 0 \\<br />
\vdots & & & \vdots \\<br />
0 & 0 & \cdots & 0 \\<br />
\sigma_jv_{j1} & \sigma_jv_{j2} & \cdots & \sigma_jv_{jn} \\<br />
0 & 0 & \cdots & 0 \\<br />
\vdots & & & \vdots \\<br />
0 & 0 & \cdots & 0 <br />
\end{pmatrix}$$<br />
<em>(perceba que os zeros da segunda matriz fazem o $u_j$ ser o único a contribuir neste produto)</em><br />
$$=\sigma_j<br />
\begin{pmatrix}<br />
u_{j1} \\<br />
u_{j2} \\<br />
\vdots \\<br />
u_{jn} \\ <br />
\end{pmatrix}<br />
\begin{pmatrix}<br />
v_{j1} & v_{j2} & \cdots & v_{jn}<br />
\end{pmatrix}=\sigma_ju_jv_j^T.$$<br />
<p align="justify">Somando todas as parcelas resulta<br />
$$A=\sum_{j=1}^r{\sigma_ju_jv_j^T}.$$<br />
</li>
<center><font color='#808080'>--------------------x--------------------x--------------------</font></center><li><p align="justify">A hipótese dos valores singulares serem positivos é estranha. Se isto significa que $A$ tem posto máximo, o sistema linear $Ax=b$ tem solução, como vimos no <a href="http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2013/03/algebra-linear-aplicada-exer-24.html" target="_blank">Exer. 24 - Qualificação</a>, o que torna desnecessário falar em ''quadrados mínimos''. Caso contrário, não era necessário colocar tal hipótese. <br />
<p align="justify">O que vou fazer então é ignorar aquela hipótese, supor que $A$ tem posto $r$ e mostrar um processo para resolver o problema de mínimos quadrados para um sistema $Ax=b$.<br />
<p align="justify">Novamente por decomposição em valores singulares na forma reduzida, $A_{m\times n}=U_{m\times r}\Sigma_{r\times r}(V^T)_{r\times n}$. Como as colunas da matriz $U$ são vetores ortonormais, sabemos que $UU^T=P$ é a projeção ortogonal sobre o espaço gerado pelas colunas de $U$, que é o mesmo que a imagem de $A$, pois $AV=U\Sigma$ e as matrizes $\Sigma$ e $V$ não interferem no espaço imagem de $U$ e de $A$, respectivamente. <br />
<p align="justify">Resolver o problema de mínimos quadrados para $Ax=b$ é fazer a projeção ortogonal de $b$ sobre a imagem de $A$, ou seja, encontrar $x$ tal que $Ax=y$, onde $y=Pb$.<br />
$$y=Pb,$$<br />
$$Ax=UU^Tb,$$<br />
$$U\Sigma V^Tx=UU^Tb,$$<br />
$$\Sigma V^Tx=U^Tb,$$<br />
$$V^Tx=\Sigma^{-1}U^Tb,$$<br />
$$x=V\Sigma^{-1}U^Tb.$$<br />
<p align="justify">Observação: Existe $\Sigma^{-1}$ somente nesta forma reduzida da SVD, em que a ordem da $\Sigma$ é o posto de $A$.</li></ul>Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/14605917674744886896noreply@blogger.com0