Esta é uma continuação natural de Sistemas lineares – 1 (ensino fundamental).
Esta interpretação geométrica é melhor fundamentada com algum conhecimento de Geometria Analítica, mas já é possível aguçar a intuição sobre sistemas lineares mesmo de quem nunca ouviu falar de Geometria Analítica. Por isso avalio esta postagem para nível de ensino médio.
Na postagem anterior fizemos distinção de sistemas com solução única, infinitas soluções e nenhuma solução, agora vai ficar mais fácil enxergar isso.
Pergunta: Uma, nenhuma ou infinitas soluções; por que não pode ter, digamos, exatamente duas soluções?
Duas incógnitas
Qualquer equação da forma $ax+by=c$ representa uma reta, ou seja, se marcarmos todos os pontos $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, no sistema cartesiano, que satisfazem à esta equação, o gráfico resultante é uma reta (são infinitos valores).
Se tivermos duas equações desta forma, teremos duas retas no plano. As soluções do sistema são representadas pelos pontos em comum das duas retas. As duas retas podem:
Três incógnitas
Qualquer equação da forma $ax+by+cz=d$ representa um plano, isto é, se marcarmos todos os pontos $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ que satisfazem à esta equação no sistema cartesiano, o gráfico resultante é um plano (são infinitos valores).
Se tivermos duas equações desta forma, teremos dois planos no espaço. As soluções do sistema são representadas pelos pontos em comum dos dois planos. Os dois planos podem:
Se tivermos três equações desta forma, teremos três planos no espaço. As soluções do sistema são representadas pelos pontos em comum dos três planos. Os três planos podem:
Observação: Além da distinção entre nenhuma, uma única ou infinitas soluções, já é possível perceber que existe mais um conceito no caso das soluções infinitas. Eu escrevi "infinitas soluções descritas por uma reta" e "infinitas soluções descritas pelo plano". Isto é indício de que, quando temos infinitas soluções, tem ainda a questão de quantas dimensões elas determinam.
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