Comprei o “Almanaque das Curiosidades Matemáticas”, de Ian Stewart, e tive a ideia de discutir com vocês algumas das curiosidades do livro (e quem sabe algumas que não estejam neste livro).Comprei o “Almanaque das Curiosidades Matemáticas”, de Ian Stewart, e tive a ideia de discutir com vocês algumas das curiosidades do livro (e quem sabe algumas que não estejam neste livro).
A primeira que proponho discutir é a “Cálculos Curiosos”, da página 13.
(Esta postagem continua em Discutindo Curiosidades Matemáticas 2, onde está a resolução do que foi proposto aqui.)
O que Stewart propôs
Foram duas coisas, mas quero discutir principalmente a segunda:
“Digite (na calculadora) o número $142.857$ e o multiplique por $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$. O que você percebe?”
A resposta de Stewart
No final do livro tem as soluções e explicações. Mas olha só o que ele escreveu nessa:
$$142857\times 2=285.714.$$$$142857\times 3=428.571.$$$$142857\times 4=571.428.$$$$142857\times 5=714.285.$$$$142857\times 6=857.142.$$$$142857\times 7=999.999.$$“Quando multiplicamos $142.857$ por $2$, $3$, $4$, $5$ ou $6$, obtemos a mesma sequência de algarismos em ordem cíclica, mas começando em um ponto diferente. O $999.999$ é um bônus. Esse fato curioso não é um mero acidente. Basicamente, ele ocorre porque $\frac{1}{7}$, em decimais, é $0,142857142857…$, repetindo-se para sempre.”
Discussão
Fiquei tentando entender qual é a relação entre $\frac{1}{7}$ e a multiplicação, da parte que se repete, por $2$ até $6$. Fiz a divisão $\frac{1}{7}$ pelo algoritmo da divisão e até encontrei alguns padrões, mas não consegui entender o que tem a ver com os produtos…
Percebi que o mesmo padrão aparece se multiplicarmos por $\frac{1}{7}$, a dízima periódica só começa noutro algarismo:
$$\frac{1}{7}\times 2=0,285714\dots$$$$1/7\times 3=0,428571\dots$$$$1/7\times 4=0,571428\dots$$$$1/7\times 5=0,714285\dots$$$$1/7\times 6=0,857142\dots$$$$1/7\times 7=0,999999\dots\ =1.$$
Mas e daí… por que multiplicando por $2$ até $6$ os algarismos não mudam ou não trocam de ordem? Não consigo ver qualquer “motivo maior” pra isso… Estou começando a achar que é mera coincidência… Alguém aí tem uma explicação?
No caso da primeira coisa que o Stewart propôs, fica mais fácil entender porque acontece, é o seguinte: Veja o seguinte padrão:
$$11\times 11=121.$$$$111\times 111=12.321.$$$$1.111\times 1.111=1.234.321.$$$$11.111\times 11.111=123.454.321.$$
Por que isso acontece? Ele mesmo explica, mas é só fazer os produtos pelo algoritmo da multiplicação (do jeito que aprendemos com a tia Perivalda) que já dá pra perceber o que acontece. Não é um motivo essencial, epistemológico, ontológico, metafísico, divino… mas uma coisa algébrica que você vê e fica feliz.
Mas nos produtos ali de cima eu não entendi, não fiquei feliz, quero um motivo algébrico satisfatório. Ou eu que sou burro demais pra enxergar o motivo…
Problema resolvido em Discutindo Curiosidades Matemáticas 2.
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