Alguém aí sabe resolver equações do 1º grau?

Um aluno que acabou de terminar o último ano do ensino fundamental perguntou, na antiga comunidade do orkut do Experiências na Matemática, como resolve equações do primeiro grau. Ele mesmo apresentou uma equação:
$$9.x-8=7.x+6,$$ e em seguida resolveu. Aparentemente ele consegue resolver, mas ele mesmo diz que nem sempre consegue.

Leia também: Alguém aí sabe resolver equações do 2º grau?

Apresentei uma resolução mais detalhada, mas ele disse que só piorou. O professor Samuel Gomes da Silva sugeriu aquela ideia de que a igualdade representa uma balança e os números representam um certo “peso”… Enfim, o aluno ainda não respondeu a essa sugestão.

Fiquei pensando nesse problema… Lembro que passei praticamente a sexta e a sétima séries inteiras estudando somente isso: equações do primeiro grau. No estágio da licenciatura que fiz em 2008 não foi diferente. É tempo pra caramba dedicado a isso! E é eficaz? (nossa, me senti um cretino fazendo essa pergunta…).

Pensei na sugestão do professor Samuel, depois de algum tempo comecei a ficar confuso. Comecei a misturar o “peso” dos números com o “passa pro outro lado com sinal contrário”, ficou estranho… Realmente não sei conciliar as interpretações que podemos dar às equações com as manipulações algébricas que fazemos.

Por essas e outras considero de grande valia a compreensão do problema da sua forma mais pura, isto é, do ponto de vista sintático. Toda vez que lançamos mão de questões semânticas ou pragmáticas das equações do primeiro grau, estamos introduzindo conceitos / pensamentos / raciocínios desnecessários para a compreensão do mesmo, aumentando perigosamente a possibilidade de confusões. Não é uma balança real que rege as “leis” de manipulação das equações!

Mesmo que o aluno tenha achado que o meu detalhismo piorou a situação, vou insistir mais ainda no detalhismo. Pelo menos uma vez na vida as pessoas têm que ver uma resolução detalhada e livre de significado (semântica) de uma equação simples como esta, do contrário esse será sempre um mistério assombrado por balanças fantasmas.

Resolução da equação de primeiro grau

Indico ao lado de cada equação o que foi utilizado para concluir a equação seguinte (quando houver duas propriedades, significa que a segunda é usada para concluir a “volta”, que a equação de baixo implica na de cima). Depois da resolução estão definidas todas as propriedades utilizadas.

O contexto é números reais, vamos lá:

$9.x-8=7.x+6$      $\longleftrightarrow$       Substitutividade da igualdade / Propriedade cancelativa da adição;

$(9.x-8)+8=(7.x+6)+8$      $\longleftrightarrow$       Associatividade da adição;

$9.x+(-8+8)=7.x+(6+8)$       $\longleftrightarrow$       Elemento oposto da adição;

$9.x+0=7.x+(6+8)$      $\longleftrightarrow$      Elemento neutro da adição;

$9.x=7.x+(6+8)$      $\longleftrightarrow$      Substitutividade da igualdade / Propriedade cancelativa da adição;

$9.x-7.x=(7.x+(6+8))-7.x$      $\longleftrightarrow$      Comutatividade da adição;

$9.x-7.x=((6+8)+7.x)-7.x$      $\longleftrightarrow$      Associatividade da adição;

$9.x-7.x=(6+8)+(7.x-7.x)$      $\longleftrightarrow$      Distributividade (em ambos os membros da igualdade);

$(9-7).x=(6+8)+(7-7).x$      $\longleftrightarrow$      Elemento oposto da adição;

$(9-7).x=(6+8)+0.x$      $\longleftrightarrow$      Multiplicação por zero;

$(9-7).x=(6+8)+0$      $\longleftrightarrow$      Elemento neutro da adição;

$(9-7).x=6+8$      $\longleftrightarrow$      Substitutividade da igualdade / Propriedade cancelativa da multiplicação;

$(9-7)^{-1}.((9-7).x)=(9-7)^{-1}.(6+8)$      $\longleftrightarrow$      Associatividade da multiplicação;

$((9-7)^{-1}.(9-7)).x=(9-7)^{-1}.(6+8)$      $\longleftrightarrow$      Elemento inverso da multiplicação;

$1.x=(9-7)^{-1}.(6+8)$      $\longleftrightarrow$      Elemento neutro da multiplicação;

$x=(9-7)^{-1}.(6+8)$      $\longleftrightarrow$      A hora esperada de efetuar as operações com os números;

$x=7.$

As Propriedades Utilizadas

Para todos $x,y,z\in\mathbb{R}:$

• Substitutividade da igualdade:
  Se $x=y$, então em qualquer equação o $x$ pode ser substituído por $y$.
  
  
• Associatividade da adição:
  $(x+y)+z=x+(y+z).$
  
  
• Elemento neutro da adição:
  Existe um único elemento, $0$, tal que $x+0=x.$
  
  
• Elemento oposto da adição:
  Para cada $x$, existe um único elemento, $-x$, tal que $x+(-x)=0.$ (Foi usado acima, sem menção explícita, a abreviação $y+(-x)=y-x.$)
  
  
• Propriedade cancelativa da adição:
  Se $y+x=z+x$, então $y=z.$ (Esta é consequência das anteriores.)
  
  
• Comutatividade da adição:
  $x+y=y+x.$
  
  
• Distributividade:
  $x.(y+z)=x.y+x.z.$
  
  
• Multiplicação por zero:
  $0.x=0.$ (Esta é consequência da propriedade do elemento neutro, da distributividade e da propriedade cancelativa da adição.)
  
  
• Elemento neutro da multiplicação:
  Existe um único elemento, $1$, tal que $1.x=x.$
  
  
• Elemento inverso da multiplicação:
  Para cada $x$, existe um único elemento, $x^{-1}$, tal que $x^{-1}.x=1.$
  
  
• Propriedade cancelativa da multiplicação:
  Se $y.x=z.x$ e $x\neq 0$, então $y=z.$
  
  
• Associatividade da multiplicação:
  $(x.y).z=x.(y.z).$
  
  
• Por fim, operações usuais com números reais (no caso foi só com racionais).

Alguma dúvida, sugestão ou crítica?

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