24 dezembro 2010

Alguém aí sabe resolver equações do 1º grau?

Um aluno que acabou de terminar o último ano do ensino fundamental perguntou, na antiga comunidade do orkut do Experiências na Matemática, como resolve equações do primeiro grau. Ele mesmo apresentou uma equação:
$$9.x-8=7.x+6,$$ e em seguida resolveu. Aparentemente ele consegue resolver, mas ele mesmo diz que nem sempre consegue.

Leia também: Alguém aí sabe resolver equações do 2º grau?

Apresentei uma resolução mais detalhada, mas ele disse que só piorou. O professor Samuel Gomes da Silva sugeriu aquela ideia de que a igualdade representa uma balança e os números representam um certo “peso”… Enfim, o aluno ainda não respondeu a essa sugestão.

Fiquei pensando nesse problema… Lembro que passei praticamente a sexta e a sétima séries inteiras estudando somente isso: equações do primeiro grau. No estágio da licenciatura que fiz em 2008 não foi diferente. É tempo pra caramba dedicado a isso! E é eficaz? (nossa, me senti um cretino fazendo essa pergunta…).

Pensei na sugestão do professor Samuel, depois de algum tempo comecei a ficar confuso. Comecei a misturar o “peso” dos números com o “passa pro outro lado com sinal contrário”, ficou estranho… Realmente não sei conciliar as interpretações que podemos dar às equações com as manipulações algébricas que fazemos.

Por essas e outras considero de grande valia a compreensão do problema da sua forma mais pura, isto é, do ponto de vista sintático. Toda vez que lançamos mão de questões semânticas ou pragmáticas das equações do primeiro grau, estamos introduzindo conceitos / pensamentos / raciocínios desnecessários para a compreensão do mesmo, aumentando perigosamente a possibilidade de confusões. Não é uma balança real que rege as “leis” de manipulação das equações!

Mesmo que o aluno tenha achado que o meu detalhismo piorou a situação, vou insistir mais ainda no detalhismo. Pelo menos uma vez na vida as pessoas têm que ver uma resolução detalhada e livre de significado (semântica) de uma equação simples como esta, do contrário esse será sempre um mistério assombrado por balanças fantasmas.


Resolução da equação de primeiro grau

Indico ao lado de cada equação o que foi utilizado para concluir a equação seguinte (quando houver duas propriedades, significa que a segunda é usada para concluir a “volta”, que a equação de baixo implica na de cima). Depois da resolução estão definidas todas as propriedades utilizadas.

O contexto é números reais, vamos lá:

$9.x-8=7.x+6$      $\longleftrightarrow$       Substitutividade da igualdade / Propriedade cancelativa da adição;

$(9.x-8)+8=(7.x+6)+8$      $\longleftrightarrow$       Associatividade da adição;

$9.x+(-8+8)=7.x+(6+8)$       $\longleftrightarrow$       Elemento oposto da adição;

$9.x+0=7.x+(6+8)$      $\longleftrightarrow$      Elemento neutro da adição;

$9.x=7.x+(6+8)$      $\longleftrightarrow$      Substitutividade da igualdade / Propriedade cancelativa da adição;

$9.x-7.x=(7.x+(6+8))-7.x$      $\longleftrightarrow$      Comutatividade da adição;

$9.x-7.x=((6+8)+7.x)-7.x$      $\longleftrightarrow$      Associatividade da adição;

$9.x-7.x=(6+8)+(7.x-7.x)$      $\longleftrightarrow$      Distributividade (em ambos os membros da igualdade);

$(9-7).x=(6+8)+(7-7).x$      $\longleftrightarrow$      Elemento oposto da adição;

$(9-7).x=(6+8)+0.x$      $\longleftrightarrow$      Multiplicação por zero;

$(9-7).x=(6+8)+0$      $\longleftrightarrow$      Elemento neutro da adição;

$(9-7).x=6+8$      $\longleftrightarrow$      Substitutividade da igualdade / Propriedade cancelativa da multiplicação;

$(9-7)^{-1}.((9-7).x)=(9-7)^{-1}.(6+8)$      $\longleftrightarrow$      Associatividade da multiplicação;

$((9-7)^{-1}.(9-7)).x=(9-7)^{-1}.(6+8)$      $\longleftrightarrow$      Elemento inverso da multiplicação;

$1.x=(9-7)^{-1}.(6+8)$      $\longleftrightarrow$      Elemento neutro da multiplicação;

$x=(9-7)^{-1}.(6+8)$      $\longleftrightarrow$      A hora esperada de efetuar as operações com os números;

$x=7.$


As Propriedades Utilizadas

Para todos $x,y,z\in\mathbb{R}:$

  • Substitutividade da igualdade:
    Se $x=y$, então em qualquer equação o $x$ pode ser substituído por $y$.

  • Associatividade da adição:
    $(x+y)+z=x+(y+z).$

  • Elemento neutro da adição:
    Existe um único elemento, $0$, tal que $x+0=x.$

  • Elemento oposto da adição:
    Para cada $x$, existe um único elemento, $-x$, tal que $x+(-x)=0.$ (Foi usado acima, sem menção explícita, a abreviação $y+(-x)=y-x.$)

  • Propriedade cancelativa da adição:
    Se $y+x=z+x$, então $y=z.$ (Esta é consequência das anteriores.)

  • Comutatividade da adição:
    $x+y=y+x.$

  • Distributividade:
    $x.(y+z)=x.y+x.z.$

  • Multiplicação por zero:
    $0.x=0.$ (Esta é consequência da propriedade do elemento neutro, da distributividade e da propriedade cancelativa da adição.)

  • Elemento neutro da multiplicação:
    Existe um único elemento, $1$, tal que $1.x=x.$

  • Elemento inverso da multiplicação:
    Para cada $x$, existe um único elemento, $x^{-1}$, tal que $x^{-1}.x=1.$

  • Propriedade cancelativa da multiplicação:
    Se $y.x=z.x$ e $x\neq 0$, então $y=z.$

  • Associatividade da multiplicação:
    $(x.y).z=x.(y.z).$

  • Por fim, operações usuais com números reais (no caso foi só com racionais).

Alguma dúvida, sugestão ou crítica?

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10 comentários :

  1. Eu adoro o seu Blog!*-*

    Eu acho que todo mundo está ligado no piloto automático!
    Inclusive os professores que ensinam matemática!
    Eles não falam da onde vem as coisas, só ensinam a fazer. Passei por isso no ensino médio. Até alguns da facul fazem isso!
    É muito mais cômodo ensinar matemática com o "piloto automático" do que ,de fato, ensinar matemática.

    :]

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  2. Olá Renato, a coisa da balanca é pra justificar/motivar a idéia de "fazer a mesma coisa dos dois lados" da equacao. Nao acho uma boa dizer que as coisas "passem para o outro lado trocando de sinal": tem sempre a passagem "escondida" de fazer a mesma operacao dos dois lados, só que anulando em um deles (foi isso o que vc fez acima, várias vezes, nao foi ?). Até.

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  3. Obrigado, Fran ;)


    Samuel,

    O meu objetivo não foi criticar a tua sugestão (na verdade eu já conhecia essa ideia há muito tempo, mas como você sugeriu ficou mais fácil de me referir à ela, hehe). Aliás, não acho que devemos abrir mão desse tipo de abordagem (semântica e pragmática).

    O que eu quero dizer é que, pelo menos uma vez deve ser mostrado como que a coisa funciona livre de contexto. A abordagem semântica é muito mais comum, e eu quis puxar pro outro lado, fazer o que normalmente não é feito.

    Mesmo que o aluno passe por uma etapa de não compreensão no início, pois cada passo não está sendo justificado (a não ser por propriedades também sem justificativa), acredito que depois de ver separadamente a parte sintática e a parte semântica/pragmática o resultado seja uma compreensão mais organizada e sustentável. É coisa para se testar...
    Valeu.

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  4. ... Rapaz, nao sei as pessoas em geral, mas eu aos treze anos de idade nao era muito "sintático" nao, hehe. Pra plantar a sementinha lá na cabeca da crianca, acho que a tal abordagem "semântica" é melhor pra comecar. Mas tudo depois tem que ser "misturado", vc tem razao (ainda mais conhecendo o Teorema da Completude !). Abraco !

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  5. Olá, Renato!
    Eu uso informar para os meus alunos, o que na verdade fazemos é que na passagem dos termos de um lado para o outro membro, eles realizam operações inversas. Exemplos: se um termo é uma parcela e está no 1º membro da equação, ele será subtraendo para os termos encontrados no 2º membro, também, se é um divisor de um lado, passará a ser um fator para todos os termos do lado oposto. Tem funcionado bem, para a compreensão e o domínio desse conteúdo pelo meus alunos.
    [1]!!!!!

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  6. Olá, Renato!
    Acabei de visitar o blog: http://obaricentrodamente.blogspot.com/ do nosso amigo Kleber e vejo que ele publicou em janeiro deste o post "método de desfazer" que nada mais é, o que eu disse que faço inicialmente com os meus alunos quando vou ensinar a resolução de eq, só que ele consegue ser mais claro nessa explanação do método! Ele é fera... é mestre! Dá uma olhada lá! Valeu!
    [1]!!!!!

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  7. Oi Francisco,

    Obrigado pela referência e por fazer a ponte entre os conteúdos relacionados, de fato eu não tinha visto o post do Kleber, é interessante a maneira de pensar que ele apresentou.

    Se alguém quiser o link direto pra postagem que o Francisco se referiu, está aqui:
    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2010/01/o-metodo-de-desfazer.html

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  8. A idéia de utilizar o princípio da equivalência acaba abordando as propriedades por você citadas, o que justifica os resultados.

    Ótimo post, com ótima abordagem!

    Agradeço a você pelo link ao meu blog.

    Forte abraço parceiro!

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  9. Olá, eu li o que o rapaz comentou sobre a solução da equação de primeiro grau e imagino o seguinte:

    1 - Quando está se aprentendendo algo, muitas vezes interesssa-se apenas pela forma de resolução não pelo fundamento e formalismo do que está por trás;

    2 - Quando se explica utilizando todo o formalismo (usando as propriedades), espera-se que o aluno entenda o que ocorre, porém isso esconde o processo da resolução, pois o foco deixou de ser o processo para ser a formalização.

    É natural que, explicando como as coisas funcionam, passe-se "por cima" de muita coisa que, formalmente, deveria ser explicada.

    Em cada estágio do aprendizado deve-se entender até que ponto de abstração o aluno (estudante) consegue entender.

    Inicialmente ele deve entender que, dependendo do valor de x, o resultado pode ser verdadeiro ou falso (conceitos primários); depois disso, deve entender como trabalhar com essa expressão para chegar, utilizando regras simples, no resultado de x. Isso exige um grau de abstração maior que apenas substituir um valor para x.

    Infelizmente atualmente, com a massificação do processo de promoção automática, ninguém mais (entenda-se de forma geral, os professores, pais, babás, tutores, etc...) está interessado em saber qual o nível de abstração de um determinado aluno (estudante) e acabam todos chegando aos estágios de estudo que exigem um grau de abstração mais elevado e não conseguem entender.

    Existem duas coisas que restam:
    1 - mudar a estrutura de promoção dos alunos, avaliando-os até que tenham o nível de abstração necessária para resolver os problemas;

    2 - recuperar os alunos que já foram promovidos para um grau maior e não têm um grau de abstração suficiente para entender as disciplinas.

    O problema é o COMO resolver qualquer um desses problemas sem ser politicamente "incorreto" ou sem cometer "injustiça".

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  10. Renato,

    Concordo com o que você expôs. Eu nunca consegui engolir regras e decorá-las, inclusive o tal passa para o outro lado e troca o sinal.
    Mas, felizmente aprendi rapidamente como usar as propriedades das operações para resolver equações. Inclusive aprendi a resolver equações antes de ser ensinado na escola com meu pai. E como eu levei bronca por fazer isso em um problema, passei a usar quadrados ao invés de x.
    Ainda uso o mesmo raciocínio mas agora automatizado e não conseguiria ensinar alguém de outra forma.

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